Loi des indices loi exponentielle
Bonjour j'espère que tous se portent bien.
Je n'arrive pas à résoudre la question 2 l'exercice 2 du devoir ci-joint.
Merci de m'aider.
Je n'arrive pas à résoudre la question 2 l'exercice 2 du devoir ci-joint.
Merci de m'aider.
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Réponses
$$
P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) = \frac{\lambda_i}{\lambda} P(Y \leq x).
$$
Or en conditionnant par rapport à $X_i$ :
$$P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) = P(\{X_i < Y_i\} \cap \{X_i \leq x\}) = \int_0^\infty \lambda_i e^{-\lambda_i t} P(t < Y_i) \mathbf 1_{\{t \leq x\}}\,dt\;.$$
Je te laisse finir.
$\{J=i\} = \{Y=X_i\} = \{X_i<Y_i\}$ donc
\begin{align*}
P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) &= P(\{Y = X_i\} \cap \{Y \leq x\}) \\
&= P(\{Y \leq x\} / \{Y=X_i \}) . P(\{Y=X_i \}) \\
&= P(\{X_i \leq x\}) . P(\{X_i <Y_i \}) \\
&= P(\{X_i <Y_i \}) . \int_0^\infty \lambda_i e^{-\lambda_i t} \mathbf 1_{\{t \leq x\}}\,dt\;..
\end{align*} Comment fais-tu pour obtenir $P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) = P(\{X_i< Y_i\} \cap \{X_i \leq x\}) $ ?
Et comment ton intégrale obtenue (là encore je ne vois pas comment tu parviens à obtenir ton intégrale) m'aide à prouver le résultat ?
Mais avant tout comment montrer que $J$ est bien défini.
Normalement , il faut montrer que J est bien définie presque partout
Le point clef est que les $X_i$ sont presque sûrement tous distincts (à montrer).
Je ne vois pas comment cela m'aide à mieux comprendre l'égalité des probabilités
Je n'avance pas beaucoup là... si vous pouviez être un peu plus explicite ça m'aiderait beaucoup.