Loi des indices loi exponentielle

kouassi
kouassi
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour j'espère que tous se portent bien.
Je n'arrive pas à résoudre la question 2 l'exercice 2 du devoir ci-joint.
Merci de m'aider.

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Il s'agit de montrer que pour tous $i \in \{1,\dots,n\}$ et $x \in \mathbb R$,
    $$
    P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) = \frac{\lambda_i}{\lambda} P(Y \leq x).
    $$
    Or en conditionnant par rapport à $X_i$ :
    $$P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) = P(\{X_i < Y_i\} \cap \{X_i \leq x\}) = \int_0^\infty \lambda_i e^{-\lambda_i t} P(t < Y_i) \mathbf 1_{\{t \leq x\}}\,dt\;.$$
    Je te laisse finir.
  • kouassi
    kouassi
    Merci Siméon voici ce que je comprends.
    $\{J=i\} = \{Y=X_i\} = \{X_i<Y_i\}$ donc
    \begin{align*}
    P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) &= P(\{Y = X_i\} \cap \{Y \leq x\}) \\
    &= P(\{Y \leq x\} / \{Y=X_i \}) . P(\{Y=X_i \}) \\
    &= P(\{X_i \leq x\}) . P(\{X_i <Y_i \}) \\
    &= P(\{X_i <Y_i \}) . \int_0^\infty \lambda_i e^{-\lambda_i t} \mathbf 1_{\{t \leq x\}}\,dt\;..

    \end{align*} Comment fais-tu pour obtenir $P(\{J = i\} \cap \{Y \leq x\}) = P(\{X_i< Y_i\} \cap \{X_i \leq x\}) $ ?
    Et comment ton intégrale obtenue (là encore je ne vois pas comment tu parviens à obtenir ton intégrale) m'aide à prouver le résultat ?

    Mais avant tout comment montrer que $J$ est bien défini.
  • kouassi
    kouassi
    Après des heures de réflexion je n'arrive ni à prouver l'indépendance ni à montrer que $P(J=i) = \frac{\lambda_i}{\lambda}$
  • kouassi
    kouassi
    Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ? Je sèche depuis...
  • Said Fubini
    Said Fubini
    $X_i $et $Y_i$ sont indépendants

    Normalement , il faut montrer que J est bien définie presque partout
  • aléa
    aléa
    Tout à fait d'accord, d'ailleurs si on ne le montre pas, on aura bien du mal à comprendre l'égalité des probabilités.
    Le point clef est que les $X_i$ sont presque sûrement tous distincts (à montrer).
  • kouassi
    kouassi
    Xi et Yi sont indépendants ! Comment voit-on cela ?
    Je ne vois pas comment cela m'aide à mieux comprendre l'égalité des probabilités
    Je n'avance pas beaucoup là... si vous pouviez être un peu plus explicite ça m'aiderait beaucoup.
  • P.
    P.
    $$\Pr(J=1, Y>y)=\Pr(Y_1>X_1>y)=\int_y^{\infty}\lambda_1e^{-\lambda_1 x_1}\left(\int_{x_1}^{\infty}(\lambda-\lambda_1)e^{-(\lambda-\lambda_1)y_1}dy_1\right)dx_1=\frac{\lambda_1}{\lambda}e^{-\lambda y}.$$Si $y=0$ cela donne $\Pr(J=1)=\lambda_1/\lambda.$ On savait que $\Pr( Y>y)=e^{-\lambda y}.$ Donc les deux evenements $J=1$ et $Y>y$ sont independants. Idem pour $J=k$. Donc $J$ et $Y$ sont independants.
  • kouassi
    kouassi
    Merci beaucoup. Là c'est vraiment plus clair
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