Nombre de composants à remplacer
Bonjour,
Voici l'énoncé de l'exercice que je dois réaliser (niveau ingénieur, spécialisé info) :
Un appareil contient un composant essentiel dont la durée de vie a pour moyenne µ=10 heures et pour écart type sigma = 2 heures. L'appareil doit fonctionner pendant au moins 2200 heures. Pour cela, à partir de sa mise en service, on prévoit de réserver n composants pour remplacer successivement d'éventuelles défaillances pour garantir le fonctionnement de l'appareil avec une fiabilité de 97%.
1. Définir la v.a T représentant la durée de vie totale de l'appareil dans les conditions ci-dessus.
2. Si on suppose que la durée de vie d'un composant suit une loi normale, et que les durées de vie des remplacements successifs sont mutuellement indépendants, quelle est la loi de T?
Déterminer dans ces conditions, le nombre n de composants à prévoir pour satisfaire l'exigence.
3. La loi de la durée de vie d'un composant n'est pas connue. Déterminer dans ces conditions, le nombre n de composants à prévoir pour satisfaire l'exigence. Commenter.
En PJ mes réponses aux deux premières questions. Concernant la 3 je bloque complètement. J'imagine qu'il faut partir de l'intervalle de confiance mais rien ne me vient à l'esprit.
Merci d'avance pour votre aide,
Voici l'énoncé de l'exercice que je dois réaliser (niveau ingénieur, spécialisé info) :
Un appareil contient un composant essentiel dont la durée de vie a pour moyenne µ=10 heures et pour écart type sigma = 2 heures. L'appareil doit fonctionner pendant au moins 2200 heures. Pour cela, à partir de sa mise en service, on prévoit de réserver n composants pour remplacer successivement d'éventuelles défaillances pour garantir le fonctionnement de l'appareil avec une fiabilité de 97%.
1. Définir la v.a T représentant la durée de vie totale de l'appareil dans les conditions ci-dessus.
2. Si on suppose que la durée de vie d'un composant suit une loi normale, et que les durées de vie des remplacements successifs sont mutuellement indépendants, quelle est la loi de T?
Déterminer dans ces conditions, le nombre n de composants à prévoir pour satisfaire l'exigence.
3. La loi de la durée de vie d'un composant n'est pas connue. Déterminer dans ces conditions, le nombre n de composants à prévoir pour satisfaire l'exigence. Commenter.
En PJ mes réponses aux deux premières questions. Concernant la 3 je bloque complètement. J'imagine qu'il faut partir de l'intervalle de confiance mais rien ne me vient à l'esprit.
Merci d'avance pour votre aide,
Réponses
-
Pardon, mais je suis pas sûr d'avoir très bien compris cette partie du calcul.
$\sum\limits_{k=0}^{n} 10 = 11 n$ ?
$\sum\limits_{k=0}^{n} 4 = 5 n$ ? -
On démarre la machine avec 1 pièce à l'intérieur et on prévoit un nombre n de pièces à changer pour faire perdurer le fonctionnement.
On doit donc faire la somme de 1 à n+1 ou de 0 à n de la durée de vie de toutes les pièces de remplacement.
J'espère que j'arrive à être clair, n'hésitez pas sinon -
D'accord, donc s'il y a $(n+1)$ termes dans la somme et que chacun vaut $4$, combien vaut la somme ?
-
4 x $(n+1)$ (silly me). J'arrive donc au résultat suivant :
N( $\sum\limits_{k=0}^{n} 10$ , $\sum\limits_{k=0}^{n} 4 $) = N(10${n+1}$, 4${n+1}$)
$ Xk \rightsquigarrow\ N(10,4), T = \sum_{k=0}^{n}Xk, \textrm{ avec (X0,...,Xn) mutuellements indépendants} \\
\textrm {Donc } T\rightsquigarrow\ N(\sum_{k=0}^{n}10, \sum_{k=0}^{n} 4) = N((10n) +10, (4n)+4) \\
P([T\geq 2200]) = 1-P([T\leq 2200]) = 97 \% \\
\Leftrightarrow 1-P([Z \leq \frac{2200 - 10n +10}{4n +4} ]) = 97\% \\
\Leftrightarrow 1-P([Z \leq \frac{-5n + 1095}{2n +2} ]) = 3\% \\
\textrm{Par lecture des fractiles : } \\
\frac{-5n + 1095}{2n +2} = 1.8808
\Leftrightarrow -5n+1095 = 3.7616n+37616 \\
-8,7616n = -1091.2384 \\
n \approx 124,55
$ -
Ok, on avance, mais je crois que tu as oublié de prendre la racine carrée pour passer de la variance à l'écart-type.
-
Attention, deuxième ligne,
pour n= 2, 10n+1 = 20+1=21 alors que 10 + 10 + 10 = 30 (règles d'écriture des calculs).
Cordialement. -
Bonjour,
En suivant vos remarques, j'arrive à ce qui suit :
$
X\rightsquigarrow N(\sum_{k=0}^{n}10,\sum_{k=0}^{n}4) = N(10(n+1), 4(n+1)) \\
Xk \rightsquigarrow\ N(10,4), T = \sum_{k=0}^{n}Xk, \textrm{ avec (X0,...,Xn) mutuellements indépendants} \\
\textrm {Donc } T\rightsquigarrow\ N(\sum_{k=0}^{n}10, \sum_{k=0}^{n} 4) = N((10n) +10,(4n)+4) \\
P([T\geq 2200]) = 1-P([T\leq 2200]) = 97 \% \\
\Leftrightarrow 1-P([Z \leq \frac{2200 - 10n +10}{\sqrt{4n +4}} ]) = 97\% \\
\Leftrightarrow 1-P([Z \leq \frac{2200 - 10n +10}{2\sqrt{n+1}} ]) = 97\% \\
\Leftrightarrow P([Z \leq \frac{-5n + 1095}{\sqrt{n +1}} ]) = 3\% \\
\textrm{Par lecture des fractiles : } \\
\frac{-5n + 1095}{\sqrt{n +1}} = 1.8808
$
Je bloque sur la résolution finale par contre ... -
Finalement, je trouve
$ \frac{2200 - 10n +10}{\sqrt{4n +4}} = 1.8808 \Leftrightarrow n \approx 215 $
Donc 215 composants si les durées de vie suivent une loi normale.
Malheureusement j'ai encore du mal à appréhender la dernière question.
Merci d'avance, -
Bonjour.
Pour la dernière question, tu sais que T est la somme d'un grand nombre de variables aléatoires de même loi, donc on peut approximer sa loi par ...
Cordialement. -
Une loi normale avec
$
T \rightsquigarrow N(nµ,n\sigma²) \\
Z_{n} = \frac{ \sqrt{n} (\overline{X_{n}}-µ)}{\sigma /} $
et Z qui approxime T ? -
Tu sais .. si tu as un théorème qui le justifie, c'est bon.
-
D'accord, je pense que je devrais réussir à me débrouiller maintenant
Merci beaucoup pour votre aide et votre patience. -
Mais en fait, la conclusion, c'est que, par le TCL, à moyenne, variance données, et pas trop grandes
* si on sait que les durées de vie sont de loi normale
* si on ne sait pas la loi des durées de vie
la réponse est la même ?! -
Le TCL ne demande pas que les variables soient gaussiennes. Par contre, difficile de l'appliquer à une somme de deux variables indépendantes, sauf cas particulier. Alors qu'avec deux variables Normales indépendantes, la somme l'est aussi.
Cordialement.
NB : J'ai rencontré en recherche en sciences industrielles, des sommes de lois lognormales indépendantes; à partir de 3, l'approximation gaussienne était tout à fait utilisable. -
Dans le programme d ECE on nous dit que la somme de 12 variables uniformes sur [0,1] moins 6 est une bonne approximation de la loi normale.
Ça s'appelle la loi d'Irwin Hall et j'avais trouvé il y longtemps un post je crois sur r-bloggers qui disait que bien sûr pour les valeurs très élevées la queue était trop légère mais que le approximation était étonnamment bonne, et que le 12 était en fait peut être assez magique.
. -
Effectivement,
les courbes de la densité de cette somme et de celle de la loi Normale centrée réduite sont vraiment très proches. le 12 n'est pas mystérieux : la variance de la loi uniforme sur [0;1] est $\frac 1 {12}$, ce qui fait qu'en ajoutant 12 variables de ce type, indépendantes (*), on obtient une variance de 1 (et une moyenne de $12\times \frac 1 2 =6$, d'où le -6 pour centrer).
par contre, c'est vrai que la probabilité devient nulle en dehors de l'intervalle [-6,6], mais on va rarement en queue de distribution avec la loi Normale.
Cordialement.
(*) très important, sinon c'est faux. -
Prinny
> Finalement, je trouve $ \frac{2200 - 10n +10}{\sqrt{4n +4}} = 1.8808 \Leftrightarrow n \approx 215 $
> Donc 215 composants si les durées de vie suivent une loi normale.
bonjour
Comment 215 pourrait être la bonne réponse ? on vise un durée de fonctionnement de 2200 .
En fait ce n'est pas 220 - 5 , mais 220 + 5 composants de rechange qu'il faut prévoir.
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Bonjour!
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