Relation entre trace et espérance

naleigh · March 2019

Bonjour,

j'ai $A$ et $B$ deux matrices réelles symétriques de dimensions $p \times p$ et un vecteur $\textbf{Z}= (Z_1, \ldots,Z_p) '\sim N_p(0,R(\theta))$ et je veux montrer que
$$ cov(\frac{1}{2}\textbf{Z}'A\textbf{Z},\frac{1}{2}\textbf{Z}'B\textbf{Z})=\frac{1}{2}tr(AR(\theta)BR(\theta)).$$

J'ai essayé en utilisant un théorème qui dit que si $x \sim N_n (\mu, \Omega)$ et $A$ est une matrice symétrique de dimensions $n \times n$, alors
$$ \text{E}[x'Ax] = tr (A \Omega) + \mu ' A \mu$$

mais je ne suis pas arrivée à la solution.

Auriez-vous des suggestions ? Merci d'avance.

P. · March 2019

Si $X\sim N(0,I_n)$ et $S$ est une matrice symetrique d'ordre $n$ de valeurs propres $s_1,\ldots, ,s_n$ alors

$$\mathbb{E}(X^tSX)=2(s_1+\cdots+s_n)=2\mathrm{trace} S,\ \ \mathbb{E}((X^tSX)^2)=3\sum_{i=1}^ns_i^2+2\sum_{1\leq I<j\leq n}s_is_j=2\mathrm{trace} (S^2)+(\mathrm{trace} S)^2.$$ Tu poses $$A_1=R(\theta)^{1/2}AR(\theta)^{1/2},\ B_1=R(\theta)^{1/2}BR(\theta)^{1/2}$$ et tu appliques les identites a $S=A_1\pm B_1$ pour calculer les moyennes de $Z^tAZ$, $Z^tBZ$,$Z^tAZZ^tAZ$, puis tu appliques Huyghens pour avoir la covariance.

naleigh · March 2019

Merci pour votre réponse j'ai réussi à démontrer ma formule.

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