Stabilité par union d'une tribu

Oui, c'est tout bête.

Soit une famille dénombrable $(B_n)_{n\ge0}$ d'événements disjoints telle que tout $n$, on ait : \[P(B_n)=P(B_n\mid A)=\frac{P(A\cap B_n)}{P(A)}.\] Alors, par $\sigma$-additivité et par distributivité de l'intersection sur la réunion, on a : \begin{align*}
P\left(\bigcup_{n\ge0}B_n\right)&=\sum_{n\ge0}P(B_n)\\
&=\sum_{n\ge0}\frac{P(A\cap B_n)}{P(A)}\\
&=\frac{1}{P(A)}\sum_{n\ge0}P(A\cap B_n)\\
&=\frac1{P(A)}P\left(\bigcup_{n\ge0}(A\cap B_n)\right)\\
&=\frac{P\left(A\cap\bigcup_{n\ge0}B_n\right)}{P(A)}\\
&=P\left(\bigcup_{n\ge0}B_n\mid A\right).
\end{align*}

Ah, euh, flagrant délit de lecture insuffisante... Ou peut-être pas.

Note que comme les probabilités sont finies, on a stabilité par complémentaire : si $B$ et $B'$ sont dans ta tribu avec $B\subset B'$, alors $B'\setminus B$ est dans ta tribu parce que $P(B'\setminus =P(B')-P(B)$ et $P\bigl((B'\setminus \cap A\bigr)=P(B'\cap A)-P(B\cap A)$, etc.

On a vu que l'on a stabilité par réunion disjointe. Donnons-nous une suite quelconque de parties $(C_n)_{n\ge0}$ de ta tribu. On forme une suite de parties disjointes qui a la même réunion en posant, pour tout $n$ : \[B_n=\left(\bigcup_{k=0}^nC_k\right)\setminus\left(\bigcup_{k=0}^{n-1}C_k\right).\] La réunion des $B_n$ appartient à ta tribu et c'est gagné puisque \[\bigcup_{n=0}^\infty B_n=\bigcup_{k=0}^\infty C_k.\]

Ah oui, tiens ! J'ai vu le même exemple pas plus tard que la semaine dernière sous l'avatar suivant : on tire indépendamment deux pièces à pile ou face avec proba $1/2$ pour chaque résultat possible. Autrement dit, $\Omega=\bigl\{(P,P),\ (P,F),\ (F,P),\ (F,F)\bigr\}$ avec proba uniforme. Puis :

• $A=\bigl\{(P,P),\ (P,F)\bigr\}$ (« première pièce = pile ») ;
• $B=\bigl\{(P,F),\ (F,P)\bigr\}$ (« deux pièces différentes ») ;
• $C=\bigl\{(P,P),\ (F,P)\bigr\}$ (« deuxième pièce = face »).

Alors $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants car $P(A\cap B\cap C)=0$, si bien que $P(B\cap C\mid A)=0$ alors que $P(B\cap C)=\frac14$.

Il faudrait que j'arrête de répondre sans réfléchir et d'être d'accord avec les gens (i.e. de donner des preuves sincères mais complètement fausses des choses fausses que les gens veulent démontrer). Hélas...