Loi binomiale et maximum
Bonjour,
je me donne une variable aléatoire $X$ suivant une $B(n,p)$ et je cherche à calculer quand la loi de probabilité est maximale ie quand la suite $(P(X=k))_{0\leq k\leq n}$ est maximale. Je trouve que cela se produit lorsque $k$ est l'entier proche du réel $p(n+1)-1$. Pouvez-vous me le confirmer ? Mais alors, est-ce contradictoire avec le fait que l'espérance d'une telle loi est $n \times p$ ? Pour rappel, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
Merci pour vos réponses.
je me donne une variable aléatoire $X$ suivant une $B(n,p)$ et je cherche à calculer quand la loi de probabilité est maximale ie quand la suite $(P(X=k))_{0\leq k\leq n}$ est maximale. Je trouve que cela se produit lorsque $k$ est l'entier proche du réel $p(n+1)-1$. Pouvez-vous me le confirmer ? Mais alors, est-ce contradictoire avec le fait que l'espérance d'une telle loi est $n \times p$ ? Pour rappel, $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
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Réponses
Imagine
$P(X=-99999)=1/4$, $P(X=-100001)=1/4$ et $P(X=100000)=1/2$.
La valeur la plus probable est $100000$, qui est très loin de $E(X)=0$.
On écrit : $\displaystyle\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} =
\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k-1}} \cdot \frac{p^k \cdot (1-p)^{n-k}}{p^{k-1} \cdot (1-p)^{n-k+1}} =
\frac{n+1-k}{k} \cdot \frac{p}{1-p}
$
À $k$ fixé, ce quotient $u_{k,n}(p)$ vaut $1$ pour $p = \frac{k}{n+1}$, et croît avec $p$.
À $p$ fixé, la valeur $k$ maximise la probabilité si
$u_{k,n}(p) \ge 1$
$u_{k+1,n}(p) \le 1$
soit :
$p \ge \frac{k}{n+1}$
$p \le \frac{k+1}{n+1}$
ou encore : $p(n+1)-1 \le k \le p(n+1)$.
si $p=0$, c'est $k=0$ qui maximise,
si $p=1$, c'est $k=n$ qui maximise,
et plus $p$ est grand, plus le $k$ qui maximise est grand.
Un truc mnémotechnique, c'est que si on choisit $p$ uniformément sur $[0,1]$, chaque $k$ a la même probabilité $\frac{1}{n+1}$ de maximiser la proba.
Remarque :
Cette situation où on choisit aléatoirement la probabilité $p$ de la pièce de monnaie s'appelle, billard de Bayes, d'ailleurs, et sous ce conditionnement, $X \hookrightarrow B(n,p)$ devient uniforme de $0$ à $n$.
Comme dit aléa, il n'y a en général pas de raison que le mode soit très proche de l'espérance, sauf qu'en pratique c'est quand même souvent le cas (voir : distribution unimodale)
En tous cas, ici, on a vu, avec $\overline{x} = np$ l'espérance, que le mode $x^*$ est l'entier (il peut y en avoir 2) qui vérifie :
$\overline{x} - q \le x^* \le \overline{x} + p$,
en notant $q=1-p$.
Donc, on a bien : $|\overline{x}-x^*| \le \max(p,q) \le 1$.