Différentes définitions de la variance
Bonjour,
On peut trouver diverses définition de la variance d'une variable aléatoire discrète réelle notamment :
Si l'on prend une telle variable telle que $X(\Omega) = \{ x_i,\ i \in \mathbb{N} \}$ on a :
$V(X) = E((X-E(X))^2)$ mais aussi $V(X) = \sum_{n=0}^{+\infty} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i)$
Mon problème est que je n'arrive pas à passer de la première définition à la deuxième j'ai bien :
$$V(X) = E((X-E(X))^2) = \sum_{n=0}^{+\infty} (x_i - E(X))^2 P((X-E(X))^2 = x_i)$$
Mais ça ne correspond pas :-(
C'est probablement tout bête mais je ne comprends pas
Merci !
On peut trouver diverses définition de la variance d'une variable aléatoire discrète réelle notamment :
Si l'on prend une telle variable telle que $X(\Omega) = \{ x_i,\ i \in \mathbb{N} \}$ on a :
$V(X) = E((X-E(X))^2)$ mais aussi $V(X) = \sum_{n=0}^{+\infty} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i)$
Mon problème est que je n'arrive pas à passer de la première définition à la deuxième j'ai bien :
$$V(X) = E((X-E(X))^2) = \sum_{n=0}^{+\infty} (x_i - E(X))^2 P((X-E(X))^2 = x_i)$$
Mais ça ne correspond pas :-(
C'est probablement tout bête mais je ne comprends pas
Merci !
Réponses
-
Non, non.
Si $Y = f(X)$, alors, on a deux écritures pour $E[Y]$.
$
\begin{aligned}
E[Y] & = \sum_{y_j \in Y(\Omega)} y_j \cdot P(Y = y_j) \\
E[Y] = E[f(X)] & = \sum_{x_i \in X(\Omega)} f(x_i) \cdot P(X = x_i)
\end{aligned}
$
La deuxième, je l'appelle "formule de transfert pour l'espérance".
Les anglo-saxons disent "law of the unconscious statistician".
Ici, tu veux appliquer la deuxième avec $Y = f(X) = \big(X - m\big)^2$,
où on a noté $m = E[X]$. -
Pas de carré sur la probabilité !Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
D'accord ! Cela viens de la formule de transfert qui ne comporte pas de carré effectivement !
Merci beaucoup de m'avoir éclairé (:P) -
Non, non, le carré n'est pas le seul problème dans ce que tu as écrit.
-
Je peux bien écrire ça non ? :
On pose $Y = (X-m)^2$
Alors $Y(\Omega) = \{y_i, \ i \in \mathbb{N} \}$ avec $ y_i = (x_i-m)^2$
Par définition : $$E(Y) = \sum_{n=0}^{+\infty} y_i P(Y=y_i) = \sum_{n=0}^{+\infty} (x_i -m)^2 P((X-m)^2 = (x_i -m)^2))$$
Et par la formule de transfert : $$E(Y) = E(f(X)) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(x_i)P(X = x_i) = \sum_{n=0}^{+\infty} (x_i -m)^2 P(X=x_i)$$
Pourquoi est-ce que je n'ai pas le droit d'écrire la première ligne c'est pourtant une simple substitution non ? -
Ok, maintenant on est d'accord.
(tu m'as fait douter avec ton "pourquoi je n'ai pas le droit", alors que tu écris maintenant quelque chose de complètement différent ! :-D) -
Donc ces deux lignes sont bien équivalentes ?
-
Oui, enfin, il faudrait un peu clarifier les indices de sommation parce qu'elles ont l'air de porter sur $n$ et en fait c'est des $i$ dedans, mais à part ça, la formule de transfert pour l'espérance peut en effet se résumer à ce que tu viens de faire, en regroupant/éclatant les antécédents par $f$ des $y_j$.
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