Un énoncé un peu flou

Plus simplement, pour les mêmes raisons, l'espérance de ce quotient est m fois celle de celui avec un seul terme au numérateur.

Or quand on en met n au numérateur, elle vaut 1.

Donc celle-ci vaut m/n.

Mon avis :
Il faut démontrer que l'espérance demandée existe (raisonnement par majoration), et ensuite son calcul est assez simple (car l'espérance des Xi n'est pas nulle) : on obtient m/n.

Non, l'indépendance est bien nécessaire.

Je prends $X_1',X_2'$ de Bernoulli $\frac{1}{2}$ et indépendantes, et je rajoute $\epsilon>0$ pour que ce soit positif,
soit $X_1 = X_1' + \epsilon$, et $X_2 = X_2' + \epsilon$

J'étends en posant $X_2 = X_3 = \dots = X_{1000}$.

La variable $\frac{X_1}{\sum X_i}$ a une chance sur 4 de valoir $\simeq 1$.

Alors que $\frac{X_2}{\sum X_i}$ ne peut pas dépasser $\simeq \frac{1}{1000}$.

Elles ne sont pas indépendantes puisque leur somme fait $1$.

Il faut voir la loi de $\frac{X_i}{X_1+\dots X_n}$ comme la loi image d'une loi qui ne dépend pas de $i$ par une certaine transformation.

Ca m'a l'air plus compliqué mais c'est toujours subjectif.

La solution est très simple. Soit $f(x_1,...,x_n) = \dfrac{x_1}{x_1+...+x_n}$. Soit $\mu$ la loi de $X_1$.

Soit $Y_1 = (X_1,...,X_n)$, soit $Y_i$ le même vecteur que $Y_1$ mais où on a permuté $X_1$ et $X_i$.

Par indépendance, la loi de $Y_1$ est la loi produit $\mu^{\otimes n}$. De même, la loi de $Y_i$ est aussi $\mu^{\otimes n}$. Donc les $Y_i$ ont toutes même loi, donc les $f(Y_i)$ aussi.

De plus, $f(Y_i) \leq 1$ donc $f(Y_i)$ est intégrable.

On a alors, $\mathbb E(\sum_{i\leq m} f(Y_i)) = \sum_{i\leq m} \mathbb E(f(Y_i)) = m \mathbb E(f(Y_1))$.
De même, $1 = \mathbb E(1) = \mathbb E(\sum_{i\leq n} f(Y_i)) = n \mathbb E(f(Y_1))$.

Finalement, $\mathbb E(f(Y_1)) = 1/n$, et $\mathbb E(\sum_{i\leq m} f(Y_i)) = m/n$.