Égalité de mesures

Gentil
Gentil
dans Probabilités, théorie de la mesure
Salut à tous !

Sous quelle condition peut-on affirmer que si $u$ et $v$ sont deux mesures sur $(X,\chi)$ telles que pour tout $f\in C^{0}(X,R)$, $\int f dv = \int f du$ alors $u = v$. Dans ce cas, pouvez-vous me donner la preuve s'il vous plaît ?

Je vous remercie beaucoup !

Réponses

  • Corto
    Corto
    Le théorème de Riesz-Markov répond à ta question.
  • Gentil
    Gentil
    Merci pour le lien.

    Bon, je dois avouer ne pas voir tout de suite le lien.
  • Corto
    Corto
    Si ton espace $X$ est localement compact et séparé le théorème de Riesz Markov te dit que les formes linéaires continues et positives sur $C_c^0(X)$ sont représentées de façon unique par des mesures de Radon.

    Donc, si tes mesures sont des mesures de Radon et que ton espace est séparé et localement compact le théorème de Riesz Markov t'assure que $u=v$ puisque ces mesures représente la même forme linéaire.
  • Gentil
    Gentil
    Ici $f$ est continue et n'est pas à support compact.
  • Gentil
    Gentil
    Hum...
  • Poirot
    Poirot
    Si ton égalité est vraie pour toute fonction continue, elle l'est en particulier pour toute fonction continue à support compact...
  • Gentil
    Gentil
    Tout à fait Poirot.

    Ce que je ne comprends pas c'est de quel forme linéaire parle-t-on lorsqu'on dit que $v$ et $u$ représente la même forme linéaire.
  • Poirot
    Poirot
    $$f \mapsto \int f \,d\mu$$ est une forme linéaire positive pour tout mesure positive $\mu$.
  • Gentil
    Gentil
    Ah oui je vois.

    Merci beaucoup.
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