Espérance conditionnelle et mesurabilité

Bonsoir à tous.

Si l'on se place sur un espace probabilité $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, et si $\mathcal{G}$ est une sous-tribu de $\mathcal{F}$, une des constructions possibles de l'espérance conditionnelle par rapport à $\mathcal{G}$ d'une variable aléatoire $X$ intégrable est de d'abord supposer que $X\in L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, et d'appliquer le théorème de projection sur $L^2(\Omega, \mathcal{G}, \mathbb{P})$ qui est un fermé de $ L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Mon problème se situe ici : pourquoi c'est effectivement un fermé ?


Si $(Y_n)_n$ est une suite de $ L^2(\Omega, \mathcal{G}, \mathbb{P})$ qui converge vers $Y$, on peut en extraire une sous-suite convergente p.s., mais cela n'assure à priori pas que $Y$ est $\mathcal{G}$-mesurable. Il me semble qu'il faudrait plutôt poser $Y'=Y\mathbb{1}_{E}$, où $E$ désigne un ensemble (que l'on peut choisir $\mathcal{G}$-mesurable) sur lequel $(Y_n)$ converge (sûrement) vers $Y$, et alors $Y'=Y$ (dans $L^2$), et $Y'$ est $\mathcal{G}$-mesurable. Est-ce correct de faire de cette façon?