Loi du min grâce au max (et réciproquement)
Bonjour,
Soit (Xn) une suite de VAR iid (à densité)
Je lis dans un rapport de concours "très peu de candidats connaissent le lien entre min(X1,...,Xn) et max(X1,...,Xn) et refont les mêmes calculs 2 fois, lorsqu'on leur demande de donner successivement la loi du max puis celle du min". Sous-entendu, ils devraient utiliser la formule qui relie max et min. OK, je veux bien essayer
D'après mes souvenirs on a inf(X1,...,Xn)= - sup( -X1,..., -Xn) et sup(X1,...,Xn)= -inf( -X1,..., -Xn) pour toute suite de variables, non?
OK, ce faisant, si on a, par exemple, la loi du max, je procéderais ainsi
pour x dans le support des Xi p(min(X1,...,Xn) < x )=p(-sup(-X1,..,-Xn) < x)=p(sup(-X1,...,-Xn)>-x)=1-sup(-X1,...,Xn<-x)
OK et maintenant on a besoin de la loi des -Xi, ceci n'est pas compliqué mais est-ce réellement plus rapide que la méthode critiquée par le rapport ?
Ou bien je manque une méthode réellement + efficace ? Si oui, j'espère que vous serez en mesure de me la fournir !
Merci d'avance
Soit (Xn) une suite de VAR iid (à densité)
Je lis dans un rapport de concours "très peu de candidats connaissent le lien entre min(X1,...,Xn) et max(X1,...,Xn) et refont les mêmes calculs 2 fois, lorsqu'on leur demande de donner successivement la loi du max puis celle du min". Sous-entendu, ils devraient utiliser la formule qui relie max et min. OK, je veux bien essayer
D'après mes souvenirs on a inf(X1,...,Xn)= - sup( -X1,..., -Xn) et sup(X1,...,Xn)= -inf( -X1,..., -Xn) pour toute suite de variables, non?
OK, ce faisant, si on a, par exemple, la loi du max, je procéderais ainsi
pour x dans le support des Xi p(min(X1,...,Xn) < x )=p(-sup(-X1,..,-Xn) < x)=p(sup(-X1,...,-Xn)>-x)=1-sup(-X1,...,Xn<-x)
OK et maintenant on a besoin de la loi des -Xi, ceci n'est pas compliqué mais est-ce réellement plus rapide que la méthode critiquée par le rapport ?
Ou bien je manque une méthode réellement + efficace ? Si oui, j'espère que vous serez en mesure de me la fournir !
Merci d'avance
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Réponses
Tu pourrais nous dire de quel rapport de jury il s'agit ?
OK, comme je le pensais, mais je voulais en avoir la confirmation, c'est parce qu'il s'agissait de loi uniforme discrète et que du coup si Xn suit une loi uniforme discrète sur 1;N max(X1,...,Xn) et N+1-min(X1,...,Xn) ont même loi mais ce n'est pas généralisable. Je voulais savoir si on pouvait faire cela en toute généralité, mais vous me confirmez que non.
Ce commentaire du rapport est sévère (je faisais référence au commentaire de la question 5), c'est quand même assez subtile de penser à ça...
PS : j'avais mis variable à densité pour éviter qu'un forumer râle quand j'écris p(X>x)=1-p(X<x) (je n'ai jamais vraiment cherché à savoir comment on fait le signe > ou égal) :-D, même s'il s'agissait de variable discrète dans ma question
Merci pour la réponse
Il est écrit dans le rapport, qu'il y a un oubli dans l'énoncé, à savoir les ti 2 à 2 distincts.
Je n'arrive à prouver qu'une seule inclusion d'événement : (Tn=k) inclus dans (W(Tn)=tk), sans utiliser que les ti sont 2 à 2 distincts, et, je crois, sans arnaquer!
Je n'arrive pas à montrer l'autre inclusion, même en utilisant le fait que les ti sont 2 à 2 distincts.
Merci d'avance.
NB : Les formules qui relient max et min que j'ai mentionnées dans le premier message de ce fil sont-elles bien vraies pour toute suite ?
Comme $[T_n=k] \subset [W_t(T_n) = t_k]$, les $[W_t(T_n) = t_k]$ les $t_k$ sont les seules valeurs possibles pour $W_t(T_n)$.
Ils sont deux-à-deux incompatibles ($t_k$ distincts), donc les $[W_t(T_n) = t_k]$ forment aussi un système complet d'événements.
Les deux systèmes complets d'événements sont donc égaux.
Si on n'est pas content de ce raisonnement pipologique, on peut écrire la formule des probabilités totales pour $P\big(W_t(T_n) = t_k\big)$ dans le système complet $\big([T_n=i]\big)_{i=1...n}$.
et pour les formules qui relient max et min?
Bah c'est une question d'appréciation, je dirais...
Oui, il est vrai que $\forall x_1,\dots,x_n$, on a : $\min(x_1,\dots,x_n) = - \max(-x_1,\dots,-x_n)$.
C'est une formule déterministe toujours vraie dans $\R^n$.
Qu'entendez vous par symétrie des variables ici ? En quoi les lois uniformes discrètes sont symétriques + qu'une autre ?
pour tout $k\in\N$, si $U$ est uniforme sur $\{1,...,n\}$, on a :
$P(U = k) = P(U = n+1-k)$.
$P(U \le k) = P(U \ge n+1-k) = P(U > n-k)$
Ça ne suffit pas ?
Est-ce que des formules du même genre sont vraies pour la loi géométrique ?
Noter qu'on a aussi une symétrie pour la loi binomiale $B\big(n,\frac{1}{2}\big)$.
(ou bien, plus généralement, une symétrie entre les deux lois $B(n,p)$ et $B(n,1-p)$.)
Merci de votre implication
$
\begin{aligned}
E[T_{n+1} \cdot 1_{T_n = k}]
& = \sum_{j=0}^1 \sum_{i=1}^n ij \cdot P(T_{n+1} = i, 1_{T_n=k} = j) \\
& = \sum_{i=1}^n i \cdot P(T_{n+1} = i, 1_{T_n=k} = 1) \\
& = \sum_{i=1}^n i \cdot P(T_{n+1} = i, T_n=k) \\
\end{aligned}
$
puis la suite, je suis d'accord pour l'idée.