Espérance de la loi uniforme sur la sphère

aléa écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1794456,1794478#msg-1794478
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

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La mesure uniforme d'un borélien $B$ de $S_d$ serait alors $~\mu\left(\{x \in \mathbb{R}^{d} \setminus \{0\}, \frac{x}{\|x\|_2} \in B\}\right),~$ où $\mu$ est la mesure de densité $~x \mapsto \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{d}{2}}} \, e^{-\frac{\|x\|^2_2}{2}}$ ?

@aléa: je peine à voir pourquoi ces deux définitions coïncident, peux tu m'indiquer pourquoi?

Pour éviter d'ouvrir un nouveau fil, je pose une question sur le même thème ici.

J'essaie de démontrer que pour simuler la loi uniforme $\nu$ sur la boule unité $B_d$ (de densité $\frac{\mathbb{1}_{B_d}}{\lambda_d\left(B_d\right)}$), on peut tirer $N = (N_1, \dots, N_d)$ iid de loi commune normale centrée réduite, tirer $U$ de loi uniforme sur $[0, 1]$ indépendamment de $N$ et poser $Y := U^{\frac{1}{d}} \frac{N}{\|N\|_2}$.

$\begin{array}{ccccc} \text{Pour cela, je note }\,\,\,
\rho & : & \mathbb{R}^d \setminus \{0\} & \to & \mathbb{R}^{+*} \times S_d \\
& & x & \mapsto & \left( \|x\|_2 \text{,} \, \frac{x}{\|x\|_2}\right)\\
\end{array}$

C'est une bijection de réciproque $(r, s) \mapsto rs$ et si on note $\rho_d$ la mesure de densité $r \mapsto d \lambda_d(B_d) \, r^{d - 1} \mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+*}}(r)$ par rapport à $\lambda_1$, on montre que la mesure image de $\lambda_d$ par $\rho$ est ${{\lambda_d}_{}}_{|\rho} = \rho_d \otimes \nu_d$.

On note que $Y = \rho^{-1}\left(U^{\frac{1}{d}} \text{,}\, \frac{N}{\|N\|_2}\right)$.

Donc $\forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$, $\mathbb{P}(Y \in = \mathbb{P}\left(\left(U^{\frac{1}{d}} \text{,}\, \frac{N}{\|N\|_2}\right) \in \rho\left(B\right)\right)$


Or $\forall u \in [0 \text{,} \, 1]$, $\mathbb{P}\left(U^{\frac{1}{d}} \leq u\right) = u^d = \displaystyle \int_{-\infty}^{u} d r^{d - 1} \mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+*}}(r) \,\mathrm{d}\lambda_1\left(r\right) = \frac{1}{\lambda_d\left(B_d\right)} \displaystyle \int_{-\infty}^{u} \lambda_d\left(B_d\right)d r^{d - 1} \mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+*}}(r) \,\mathrm{d}\lambda_1\left(r\right)$ de sorte que $U^{\frac{1}{d}}$ soit de loi $\frac{1}{\lambda_d\left(B_d\right)} \rho_d$.


De plus, on a vu que $\frac{N}{\|N\|_2}$ est de loi $\nu_d$: par indépendance, le couple $\left(U^{\frac{1}{d}} \text{,}\, \frac{N}{\|N\|_2}\right)$ est de loi $\frac{1}{\lambda_d\left(B_d\right)} \rho_d \otimes \nu_d$.


D'où $\mathbb{P}(Y \in = \left(\frac{1}{\lambda_d\left(B_d\right)} \rho_d \otimes \nu_d\right)\left(\rho\left(B\right)\right) =\frac{1}{\lambda_d\left(B_d\right)}{{\lambda_d}_{}}_{|\rho}\left(\rho\left(B\right)\right) = \frac{\lambda_d\left(B\right)}{\lambda_d\left(B_d\right)}$ mais le numérateur "devrait" être $\lambda_d\left(B\cap B_d\right)$: quelqu'un peut-il m'indiquer où j'ai fait une erreur?

@P.

Soit $h: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{+}$ mesurable positive.

Je trouve $\mathbb{E}[h\left(\frac{\left(N_1, \dots, N_d\right)}{\|N\|_2}\right)] = \dots = \displaystyle \int_{S_{d + 2}} h\left(s_1, \dots, s_d\right) \, \mathrm{d}\nu_{d + 2}\left(s_1, \dots, s_{d + 2}\right)$

Il faudrait montrer que cette quantité vaut $\frac{1}{\lambda_d(B_d)} \,\displaystyle \int_{B_{d}} h\left(s_1, \dots, s_d\right) \, \mathrm{d}s_1 \dots \, \mathrm{d}s_d$

J'essaie donc d'exprimer $\nu_{d + 2}$ en fonction de $\nu_{d}$ et $B_d$.
Par classe monotone, j'essaie de calculer $\lambda_{d + 2}\left(B_1 \times \dots \times B_{d + 2}\right)$ sachant que $B_{d + 2} = \{x \in \mathbb{R}^{d + 2}, \left(x_1 \dots x_d\right) \in B_d, x_{d + 1}^2 + x_{d + 2}^2 \leq 1 - (x_1^2 + \dots x_d^2)\}$ mais l'intégrale obtenue ne me semble pas simplifiable, peux tu m'éclairer?

@P.: merci pour la démonstration.

Avez-vous une idée de comment illustrer (sous R ou autre) cette méthode en dimension > 3?

@P.: plutôt un exemple d'utilisation