Algorithme EM

Bonjour.

Ayant rapidement vu l'espérance conditionnelle en Licence 3 (ça fait loin!) je suis un petit peu perdu concernant l'application de l'algorithme EM à un mélange gaussien.

En effet si l'on se réfère au super article de Wikipédia en français je n'arrive pas à comprendre comment on passe de la vraisemblance des données complétées à l'espérance conditionnelle $Q$.
(ie) comment passe t'on de $L(x, z, \Phi)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{g} z_{i k} \log \left(\pi_{k} f\left(x_{i}, \theta_{k}\right)\right)$ à $Q\left(\Phi, \Phi^{(c)}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{g} E\left(z_{i k} | x, \Phi^{(c)}\right) \log \left(\pi_{k} f\left(x_{i}, \theta_{k}\right)\right)$ ? avec $Q\left(\boldsymbol{\theta} ; \boldsymbol{\theta}^{(c)}\right)=E\left[L((\mathbf{x}, \mathbf{z}) ; \boldsymbol{\theta}) | \boldsymbol{\theta}^{(c)}\right]$ (et $t_{i k}=E\left(z_{i k} | x, \Phi^{(c)}\right)$ et $t_{i k}=\frac{\pi_{k}^{(c)} f\left(x_{i}, \theta_{k}^{(c)}\right)}{\sum_{\ell=1}^{g} \pi_{\ell}^{(c)} f\left(x_{i}, \theta_{\ell}^{(c)}\right)}$)
Je serais très heureux si quelqu'un pouvait me montrer comment on obtient Q donné par Wikipédia.