Preuve Prohorov

Bonsoir à tous.

Dans le livre Garet-Kurtzmann, il y a une preuve du théorème de Prohorov pour les mesures sur $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ (cf photos ci-dessous). La première phrase de la preuve laisse entendre que cette façon de faire s'étend sans trop de difficultés à $\mathbb{R}^d$ avec $d>1$, mais je ne vois pas comment faire. J'ai essayé d'utiliser le lemme précédent mais je n'ai pas réussi à conclure quant à la relative compacité de $\mathcal{M}$ en supposant la relative compacité des $\pi_{k}^{-1}\mathcal{M}$, pour $k$ entre $1$ et $d$. Auriez-vous une suggestion ?