Convergence en loi dans $C([0,+\infty))$
Bonjour,
Je suis actuellement en train de lire un article de recherche et quelque chose me gène dans une des preuves. Ils disent qu'il n'est pas difficile de montrer que "$\sup_{[0,T]}\sqrt{\epsilon}|V_{(t-\epsilon \tau)/\epsilon }-V_{t/\epsilon}|$ converge vers 0 en probabilité lorsque $\epsilon \to 0$ puisque $(\sqrt{\epsilon}V_{t/\epsilon})_{t\geq0}$ converge en loi dans $C([0,+\infty))$ vers le processus continu $(U_t)_t$". $\tau$ est un temps d'arrêt presque sûrement fini. $V$ est un processus continu solution d'une EDS.
Au début, je me suis dit que j'allais utiliser le" continuous mapping theorem" mais ma fonction $g_{\epsilon}:x\mapsto \sup_{[0,T]}(x_{t-\epsilon \tau}-x_t)$ dépend de $\epsilon$. Du coup, j'ai ensuite pensé: si j'arrive à montrer qu'elle converge uniformément vers 0 alors c'est bon, sauf que je n'arrive pas à le montrer (j'ai seulement montré la convergence simple) et à y réfléchir, ça semble difficile d'avoir une convergence uniforme.. J'ai fait quelques recherches sur internet mais je n'ai pas trouvé grand chose.
Me voilà donc bloquée. J'ai l'impression que c'est quelque chose de classique pourtant.
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance !
Je suis actuellement en train de lire un article de recherche et quelque chose me gène dans une des preuves. Ils disent qu'il n'est pas difficile de montrer que "$\sup_{[0,T]}\sqrt{\epsilon}|V_{(t-\epsilon \tau)/\epsilon }-V_{t/\epsilon}|$ converge vers 0 en probabilité lorsque $\epsilon \to 0$ puisque $(\sqrt{\epsilon}V_{t/\epsilon})_{t\geq0}$ converge en loi dans $C([0,+\infty))$ vers le processus continu $(U_t)_t$". $\tau$ est un temps d'arrêt presque sûrement fini. $V$ est un processus continu solution d'une EDS.
Au début, je me suis dit que j'allais utiliser le" continuous mapping theorem" mais ma fonction $g_{\epsilon}:x\mapsto \sup_{[0,T]}(x_{t-\epsilon \tau}-x_t)$ dépend de $\epsilon$. Du coup, j'ai ensuite pensé: si j'arrive à montrer qu'elle converge uniformément vers 0 alors c'est bon, sauf que je n'arrive pas à le montrer (j'ai seulement montré la convergence simple) et à y réfléchir, ça semble difficile d'avoir une convergence uniforme.. J'ai fait quelques recherches sur internet mais je n'ai pas trouvé grand chose.
Me voilà donc bloquée. J'ai l'impression que c'est quelque chose de classique pourtant.
Quelqu'un aurait-il une idée ?
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