Calcul d'une loi par fonction muette

student2
student2
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

Soit $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ une variable aléatoire indépendante de $\varepsilon$ de loi $\mathbb{P}(\varepsilon=1)=\mathbb{P}(\varepsilon=-1)=1 / 2$. Quelle est la loi de $Y=\varepsilon X$ ?

Ma preuve via la fonction muette est elle bonne ? (Je prouve que $Y$ est de même loi que $X$)
Les notations sont elles cohérentes ? (Je vois souvent des indices sous l'espérance pour indiquer la loi de probabilité utilisée).

Rmq: je suis conscient de la lourdeur de cette preuve mais j'ai voulu résumer au sein de cet exercice les notations formelles utilisées.85902

Réponses

  • P.
    P.
    Si $X$ est une va symetrique avec $\Pr(X=0)=0$ pour simplifier. Alors les deux va $S$=signe$( X )$ et $|X|$ sont independantes. En effet
    $$\Pr(|X|<x;S=1)=\Pr(0<X<x)=\frac{1}{2}\Pr(-x<X<x)=\Pr(S=1)\Pr(|X|<x).$$Idem avec $S=-1.$ Soit ensuite $E$ independante de $X$ avec $\Pr(E=\pm 1)=1/2.$.Alors $ES\sim S$ par calcul trivial, et donc $EX\sim X.$
  • student2
    student2
    @P que pensez-vous de la preuve que j'ai écrite ? Y a-t-il des erreurs ?
  • Bbidule
    Bbidule
    Bonsoir,

    Plus généralement:
    Soit $p\in [0,1]$.
    Soit $\varepsilon$ une variable aléatoire prenant ses valeurs $\{-1;1\}$ telle que $\mathbb{P}(\varepsilon=1)=p$.
    Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{N}(0,1)$.
    On suppose $X$ et $\varepsilon$ indépendantes.
    Alors, $\varepsilon X$ suit également la loi $\mathcal{N}(0,1)$.

    Cela se démontre de manière élémentaire, en montrant que $\varepsilon X$ et $X$ ont la même fonction de répartition: pour ce faire, il suffit d'appliquer la formule des probabilités totales relativement au système complet d'événements $\{[\varepsilon = -1],[\varepsilon = 1]\}$, d'utiliser l'hypothèse d'indépendance de $\varepsilon$ et de $X$, et de se souvenir que, pour tout $x\in\R$, $F_X(x)+F_X(-x)=1$.
  • P.
    P.
    Commentaire pedant sur l'observation suivante de Bidule

    Si $X,Y$ sont independantes dans le groupe mutiplicatif $G=\{-1,1\}$ et si $\Pr(Y=\pm 1)=1/2$ alors $XY\sim Y.$ C'est dire que la convolution d'une proba avec la mesure de Haar dans un groupe compact est encore la mesure de Haar.
  • aléa
    aléa
    Ta preuve est correcte.
    Quelques remarques:
    Tu utilises (à bon escient) le formalisme de l'intégrale abstraite, et, ou de Lebesgue.
    Par contre, pour ton changement de variable, tu utilises le théorème de changement de variable des intégrales de Riemann impropre. Il vaudrait mieux utiliser le théorème de changement de variable de l'intégrale de Lebesgue, qui est plus facile, particulièrement si la fonction est décroissante ou/et l'intervalle d'intégration non compact.

    Voici comment je rédigerais la solution. SI je pose $Z=-X$, il est bien connu que $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$.

    Alors $g(Y)=g(X)1_{\epsilon=1}+g(Z)1_{\epsilon=-1}$, on prend l'espérance et on a vite le résultat par indépendance et linéarité.
  • student2
    student2
    Merci beaucoup Aléa d'avoir pris le temps de me lire pour donner votre avis/correction!
    Concernant le changement de variable il a fallu que je me rafraichisse la mémoire (celà remonte à loin) en lisant ce document https://www.math.u-psud.fr/~merker/Enseignement/Integration/changement-variables.pdf.

    En fait il aurait fallut que:
    - je prenne "la valeur absolue du jacobien du difféomorphisme considéré ...." donc la valeur absolue de la dérivée $|-1|$
    - concernant les bornes; que je les laisse dans l'ordre croissant puisque je m’intéresse à "l'espace image par le difféomorphisme considéré "

    Ai je bien compris ? (Je vais voir si je trouve un autre exercice pour m'exercer).
  • aléa
    aléa
    Exact !
  • student2
    student2
    Petites questions subsidiaires ( j'ai un peu oublié la théorie de la mesure):

    1) Si X et Y sont de v.a. dont leur loi image admettent une densité (ie sont absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue dans R) :
    a) Que peut on dire de la loi du couple (X,Y) ? Peut on dit qu'il possède une loi image ?
    b) Peut on dire,dans le cas positif, que sa loi image est absolument continue par rapport à une mesure donnée ? Si oui quelle mesure ? (je me souviens qu'il existe la mesure de Lebesgue $\lambda_2$ définis sur $R^2$ et il me semble qu'il y a une propriété qui nous dit que cette mesure est égale à la mesure produit des mesure de lebesgue unidimensionnelle $\lambda_2= \lambda \otimes \lambda$ mais j'ai du mal à remettre tout ça dans l'ordre....D'ailleurs n'est ce pas le fait qu'on ai ue mesure produit qui nous permet d'écrire: $\lambda_2(A)=\int_A \lambda(dx)\lambda(dy)$

    2) Illustration: mettons nous dans le cadre de l'exercice qui a servi de fil conducteur dans ce fil. Si $\varepsilon$ n'était pas indépendant de $X$ on aurait gardé les 3 premières lignes, mais quelle serait la 4ème ligne ? Aurait on décomposé $dP_{X,\varepsilon}(x,u)=f(x,u)d\lambda(x)d\mu(u)$? (où bien sûr f(x,u) est inconnu et on ne peut la cassée en un produit sans indépendance).Peut on toujours séparer les mesures (en introduisant une mesure de densité couplé)?

    Edit: ci joint un scan avec le point d’interrogation où ça me pose problème.
  • aléa
    aléa
    La loi $P_{(X,Y)}$ est la loi image de $P$ par l'application $\omega\mapsto (X(\omega),Y(\omega))$. Elle est bien définie sur la tribu borélienne de $R^2$ si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires réelles, mais elle l'a aucune raison d'admettre une densité par rapport à $\lambda^{\otimes 2}$. C'est le cas par exemple quand $X$ et $Y$ sont indépendantes et à densité, mais même si elles sont à densité chacune, ça ne suffit pas (penser à $X=Y$).
  • student2
    student2
    Merci aléa, du coup pour bien comprendre je vais prendre l'exemple que vous citez. Par exemple mettons que X admette une loi centrée réduite, quelle est la loi du vecteur Z=(X,X) ?

    Intuitivement sans calcul j'ai envie de dire que la densité de ce vecteur va se concentrer sur la diagonale (1ère bissectrice) du plan $R^2$. Donc que la mesure de $Z$ est de ce genre: $dP_Z(x,y)=f_X(x)1_{y=x}(x,y)d\lambda(x)$.
  • P.
    P.
    $$f_X(x)\delta_x(dy)dx.$$
  • aléa
    aléa
    La loi de $Z$ n'est pas une loi à densité; ça n'a donc pas de sens de dire que sa densité se concentre sur la diagonale.
    En revanche on peut bien dire que la masse se concentre sur la diagonale.

    $E(\phi(Z))=\int_{\R} \phi(x,x)f_X(x)\ d\lambda(x)$.

    Bien sûr, on peut écrire $E(\phi(Z))=\int_{R} \left(\int_{\R} \phi(x,y) \ d\delta_x(y)\right) f_X(x)\ d\lambda(x)=\int_{R} \left(\int_{\R} \phi(x,y) f_X(x)\ d\delta_x(y)\right) \ d\lambda(x) $, mais ça ne donne toujours pas de densité.
  • student2
    student2
    @P et Alea: merci pour ces éclaircissements. Cependant ne venez vous pas d'exhiber la densité jointe du couple (X,Y)=Z : $f_X(x)\delta_x(dy)dx.$?
    Je viens de me rendre sur Wikipédia pour avoir la définition de densité:

    "En vertu du théorème de Radon-Nikodym, le vecteur aléatoire {{mvar|Z}} possède une densité si et seulement si, pour chaque borélien {{mvar|A}} de $\,\mathbb{R}^d\ $ ''dont la mesure de Lebesgue est nulle'', on a
    <center>$\mathbb{P}\left(Z\in A\right)=0.$</center>, ce qui semble être la cas pour notre exemple non ?
    Quelle est votre définition Aléa ?
  • aléa
    aléa
    La densité d'un couple, lorsqu'elle existe, est une application de $\R^2$ dans $[0,+\infty]$. Il n'y a pas de telle application ici.

    Et le théorème de RN te le montre bien: la diagonale est de masse $1$ mais de mesure de Lebesgue nulle.
  • student2
    student2
    Ah oui effectivement! Merci Aléa.
    Dit autrement (si j'ai bien compris): je ne peux pas exhiber de fonction de R^2 dans R+ tel que l'integrale sur tout R^2 contre la mesure de Lebesgue $\lambda_2$ vale 1. C'est l'idée ?

    Ma confusion venais du fait que je pensais que l'on pouvait munir $R^2$ d'une autre mesure que celle de Lebesgue $\lambda_2$ (par exemple une mesure produit d'une mesure de Lebesgue sur R par une mesure discrète où de poids 1 sur la diagonale) et qu'ainsi on pouvait définir une densité contre cette dernière mesure qui sort du cadre habituel.
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