Calcul de la mesure d'un ensemble.

Gentil
Gentil
dans Probabilités, théorie de la mesure
Salut à tous et bon week-end.
Je cherche à majorer la mesure de Lebesgue de cet ensemble $$\{ x \in R^{d} \mid \langle x,z \rangle \in [\lambda ; \lambda +t] \} \cap B(0,r),$$ avec $\lambda, t ,r >0$ et $z \in R^{d}$ tous fixés.
Je cherche une majoration de la forme $C(r,d,z).t$ avec $C(R,d,z)$ une constante qui ne dépend que de $r,d$ et $z$.

On remarque que $ x \mapsto \langle x,z \rangle$ est une droite donc en dimension $1$ une majoration possible est $\dfrac{t}{z}$ lorsque $z\ne 0$. À présent pour le cas à $d$ dimensions, je ne vois pas comment conclure.
Pouvez-vous me donner un coup de main s'il vous plaît.
Merci d'avance.

Réponses

  • aléa
    aléa
    En supposant que $B$ est la boule euclidienne, je trouve comme majorant $\dfrac{t}{|z|}r^{d-1} V_{d-1}$, avec $V_{d-1}=\dfrac{\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma(\frac{d+1}2)}$.
    Il suffit de se ramener au cas où $z$ est proportionnel à $e_1$.
  • Gentil
    Gentil
    Bonjour aléa.
    Merci pour votre réponse. Bravo je n'ai pas votre dextérité, je vais essayer de comprendre et d'utiliser votre indication.

    Supposons que $ z = s e_{1}$ avec $s>0$. Le but est de chercher la mesure de $U = B(0,r) \cap \{x \in R^{d} \mid x_{1} \in [\frac{\lambda}{s} ; \frac{\lambda +t}{s}]\}$.
    Changeons la géométrie de l'espace en considérant la norme infini ainsi $U = [0;r]^{d} \cap [\frac{\lambda}{s} ; \frac{\lambda +t}{s}] \times R^{d-1}$ ainsi par définition $\text{Leb}_{n}(U) \le \frac{t}{||z ||} r^{d-1}$

    1) Mais vous avez supposé que $B$ est la boule euclidienne. Mais comment avez-vous réussi à mener le calcul du coup ? (Veillez excuser j'ai conscience que c'est élémentaire pour vous).

    2) À présent, je vais essayer de me ramener au cas général, on remarque que le résultat est le même si on prend n'importe quel $e_{i}$. L'idée ce serait d'inclure notre ensemble dans une union d'ensemble de la forme de $U$. Mais je ne vois pas.
  • aléa
    aléa
    L'intérêt de prendre la norme euclidienne, c'est que si $E_z=\{ x \in R^{d} ; \langle x,z \rangle \in [\lambda ; \lambda +t] \} \cap B(0,r)$ et que $z$ et $z'$ sont des vecteurs de même norme, on peut trouver $O$ orthogonale telle que $E_z=O(E_{z'})$ et donc $\lambda^d(E_z)=\lambda^d(E_{z'})$ car les transformations orthogonales préservent la mesure invariante.

    Si $z=a e_1$, il est aisé de voir que $E_z\subset [\frac{\lambda}a ; \frac{\lambda +t}a]\times B_{d-1}(0,r)$,
    où $B_{d-1}$ est la boule euclidienne de dimension $d-1$.

    Le volume d'une boule, c'est le rayon puissance la dimension fois le volume de la boule unité, dont le calcul n'est pas évident, mais classique, voir par exemple l'extrait de notre livre http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre.php .

    Si tu travailles avec la norme infinie $B_{\infty,d-1}(0,r)\subset B_{\| \|_2,d-1}(r\sqrt{d-1})$, donc un facteur $(d-1)^{\frac{d-1}2}$ se rajoute.
  • Gentil
    Gentil
    Et bien merci, j'ai prouvé vos assertions et j'ai conclu. Merci pour cet leçon de mathématiques j'ai beaucoup appris.

    Je vous souhaite un bon week end et merci encore.
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