Espérance conditionnelle

Bonjour, j'ai une question concernant une espérance conditionnelle.

Soit $\textbf{Z}=(Z_{1},\ldots,Z_{p})'$ où $Z_{j}=\Phi^{-1}(U_{j})$ avec $\textbf{Z} \sim N(0,R(\theta)) $ et où $R(\theta)$ est la matrice de corrélation, $\Phi^{-1}(U_{j})$ est la fonction quantile d'une normale standardisée et $\textbf{U} \sim [0,1]$.

Je veux montrer que $E[Z_i \vert U_j = u_j]= R_{ij} \, Z_j$ j'ai donc essayé en partant de la corrélation entre $Z_i$ et $Z_j $

$R_{ij} = cor(Z_i,Z_j)= E[Z_i Z_j] -0 $ et donc
$R_{ij} = E[Z_i Z_j] = E[ \Phi^{-1}(U_{i}) \Phi^{-1}(U_{j})] = E[E[ \Phi^{-1}(U_{i}) \Phi^{-1}(U_{j}) \vert U_j = u_j]] = E[ \Phi^{-1}(U_{j})E[\Phi^{-1}(U_{i}) \vert U_j = u_j]]= E[Z_jE[Z_i \vert U_j = u_j]].$

Mais je ne sais pas si c'est la bonne façon de procéder pour montrer cette égalité. Avez-vous des idées ?

Merci d'avance.