Permutation de dérivation et d'espérance

Yassine · April 2019

Bonjour à tous
Je voudrais savoir dans quel contexte on est autorisé à dériver sous le signe espérance.

Supposons $X$ une v.a.r dont la distribution est contrôlée par un paramètre $\sigma$ et supposons $h$ une fonction de deux variables différentiables. Est-il vrai que $$
\frac{\partial \mathbb{E}\left[h(X,\sigma)\right]}{\partial \sigma} =\mathbb{E}\left[\frac{\partial h(X,\sigma)}{\partial \sigma} \right].

$$ Je pense que c'est faux (l’opérateur d'espérance dépend de $\sigma$). Si $d\mathbb{P}_X(x)=p_{X,\sigma}(x)dx$, on aurait $$
\frac{\partial \mathbb{E}\left[h(X,\sigma)\right]}{\partial \sigma} =\int \frac{\partial}{\partial \sigma}\left[h(X,\sigma)p_{X,\sigma}(x)\right]dx,
$$ qui est en général différent de $$
\mathbb{E}\left[\frac{\partial h(X,\sigma)}{\partial \sigma} \right] =\int \frac{\partial h(X,\sigma)}{\partial \sigma}p_{X,\sigma}(x)dx.

$$ Est-ce que mon raisonnement est correct ?
Merci de votre réponse.

Poirot · April 2019

L'espérance ce n'est rien d'autre qu'une intégrale de Lebesgue, il y a donc un théorème de différentiation sous la signe intégrale qui est tout indiqué, il n'y a qu'à vérifier les hypothèses usuelles (intégrabilité de la fonction, ici v.a., sous l'intégrale, ici espérance, et majoration uniforme de la dérivée par quelque chose d'intégrable).

Yassine · April 2019

Bonsoir Poireau,
Merci pour ton retour.
Oui, je connais les conditions qui permettent de dériver sous le signe somme (c'est ce que j'ai d'ailleurs utilisé).
Ici, ce qui est particulier, c'est qu'on a une famille de mesures $\mathbb{P}_{X,\sigma}$. Comme on dérive par rapport à la variable qui contrôle la mesure, je ne pense pas qu'on puisse appliquer la convergence dominée.
Je me suis ramené à la mesure de Lebesgue en supposant l'existence d'une densité $d\mathbb{P}_{X,\sigma}(x) = p_{X,\sigma}(x)dx$ et je montre qu'on ne peut pas échanger dérivation (par rapport à une variable qui affecte la mesure) et espérance.

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