limsup et liminf d'une suite de v.a

Salut, s'il vous plaît, quelqu'un peut m'aider pour résoudre cette question.

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a i.i.d. et on désigne par $F$ la fonction de répartition de $X_1$. On pose $\alpha=\inf(x \in \mathbb{R};F(x)>0)$ et $\beta=\sup(x \in \mathbb{R};F(x)<1).$
Vérifier que $\liminf_n X_n=\alpha$ et $\limsup_n X_n=\beta.$

Alors, comment commencer pour ce type d'exercice, je pense qu'il faut appliquer le lemme de Borel-Cantelli, mais comment ?
Aussi, on peut remarquer que $\alpha < +\infty$ et $-\infty < \beta.$
Merci d'avance !