Statistique de rang et statistique d'ordre
Bonjour
Ces deux notions sont-elles les mêmes ?
En effet je m'intéresse à la proposition suivante dont je ne comprends pas bien la justification de la loi :
https://snag.gy/ziOCZj.jpg
Ces deux notions sont-elles les mêmes ?
En effet je m'intéresse à la proposition suivante dont je ne comprends pas bien la justification de la loi :
https://snag.gy/ziOCZj.jpg
Réponses
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Non, ce ne sont pas les mêmes notions. Sous réserve que je ne me mélange pas les pinceaux :
- les statistiques d'ordre portent sur les valeurs de la liste ; la $k$-ième statistique d'ordre est la $k$-ième valeur quand on les classe par ordre croissant ;
- les statistiques de rang parlent du rang : la $i$-ème statistique de rang est le rang occupé par la $i$-ème valeur de la liste.
- les statistiques d'ordre sont : $x_{(1)}=0{,}1$, $x_{(2)}=0{,}15$, $x_{(3)}=0{,}2$, $x_{(4)}=0{,}7$ ;
- les statistiques de rang sont : $r_1=1$, $r_2=4$, $r_2=3$, $r_4=2$.
Ainsi, $(y_1,y_2,y_3,y_4)=(0{,}7\,;\,0{,}2\,;\,0{,}1\,;\,0\,;\,0{,}15)$ aura les mêmes statistiques d'ordre que $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ mais pas les mêmes statistiques de rang.
Il faut bien avouer que parler de « statistiques d'ordre de rang $k$ » quand il existe une « statistique de rang », cela peut inciter à une certaine confusion. -
Merci
Dans ce cas comment justifier la loi uniforme de ces statistiques de rang ? Qui ne semble absolument pas dépendre de la loi mère...
Je dispose d'un n-échantillon iid de même loi mère que la va X, j'ai effectivement envie de dire que le premier élément tiré à autant de chance d'être le nombre le plus petit ($R_1=1$) que le plus grand ($R_1=n$) que tout autre rang ($R_1=k$). Donc puis je dire $P(R_1=k)=1/n$ ? -
Effectivement, c'est intuitivement évident (on fait un tirage en aveugle, chaque nombre parmi les n tirés peut se trouver avec la même probabilité à chacune des n places).
Et on peut le prouver par récurrence.
Ton bouquin donne le théorème sans preuve ?
Cordialement. -
Oui c'est dans une proposition sans preuve (seule la loi du n-uplet est prouvée mais pas la loi des marginales $R_k$)
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Le berger est ton ami ! Si la $n$-liste suit une loi uniforme dans l'ensemble des permutations de $\{1,\dots,n\}$ (noté $\mathfrak{S}_n$ plus bas), la $k$-ième marginale suit une loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. En effet, pour l'application $\pi_k:\mathfrak{S}_n\to\{1,\dots,n\}$, $\sigma\mapsto\sigma(k)$, tous les éléments de $\{1,\dots,n\}$ ont le même nombre d'antécédents – à savoir $(n-1)!$. Si la vie est bien faite, un théorème de transfert doit permettre de conclure.
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Le berger ? (^^ qu'est ce que ça signifie ?).
Sinon jolie preuve, encore merci -
Le principe des bergers : pour compter les moutons, on compte le nombre de pattes, puis on divise par 4.
Cordialement. -
En effet : le principe des bergers.
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Bonjour!
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