Statistique de rang et statistique d'ordre

Non, ce ne sont pas les mêmes notions. Sous réserve que je ne me mélange pas les pinceaux :

• les statistiques d'ordre portent sur les valeurs de la liste ; la $k$-ième statistique d'ordre est la $k$-ième valeur quand on les classe par ordre croissant ;
• les statistiques de rang parlent du rang : la $i$-ème statistique de rang est le rang occupé par la $i$-ème valeur de la liste.

Par exemple, pour un échantillon \[(x_1,\dots,x_4)=(0{,}1\,;\,0{,}7\,;\,0{,}2\,;\,0{,}15),\]

• les statistiques d'ordre sont : $x_{(1)}=0{,}1$, $x_{(2)}=0{,}15$, $x_{(3)}=0{,}2$, $x_{(4)}=0{,}7$ ;
• les statistiques de rang sont : $r_1=1$, $r_2=4$, $r_2=3$, $r_4=2$.

Les statistiques d'ordre ne dépendent que de l'ensemble des valeurs prises, les statistiques de rang dépendent de l'ordre dans lequel les observations ont été acquises (s'il s'agit de données temporelles, cela peut avoir un intérêt mais s'il s'agit par exemple d'un sondage, ce n'est très probablement pas pertinent).
Ainsi, $(y_1,y_2,y_3,y_4)=(0{,}7\,;\,0{,}2\,;\,0{,}1\,;\,0\,;\,0{,}15)$ aura les mêmes statistiques d'ordre que $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ mais pas les mêmes statistiques de rang.

Il faut bien avouer que parler de « statistiques d'ordre de rang $k$ » quand il existe une « statistique de rang », cela peut inciter à une certaine confusion.

Effectivement, c'est intuitivement évident (on fait un tirage en aveugle, chaque nombre parmi les n tirés peut se trouver avec la même probabilité à chacune des n places).
Et on peut le prouver par récurrence.
Ton bouquin donne le théorème sans preuve ?

Cordialement.

Le berger est ton ami ! Si la $n$-liste suit une loi uniforme dans l'ensemble des permutations de $\{1,\dots,n\}$ (noté $\mathfrak{S}_n$ plus bas), la $k$-ième marginale suit une loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. En effet, pour l'application $\pi_k:\mathfrak{S}_n\to\{1,\dots,n\}$, $\sigma\mapsto\sigma(k)$, tous les éléments de $\{1,\dots,n\}$ ont le même nombre d'antécédents – à savoir $(n-1)!$. Si la vie est bien faite, un théorème de transfert doit permettre de conclure.

Le principe des bergers : pour compter les moutons, on compte le nombre de pattes, puis on divise par 4.

Cordialement.