Convergence en mesure et propriétés

Bonjour, j'avais une question concernant la convergence en mesure, si on considère un espace mesuré $(E,\mathcal{A},\mu)$ ($\mu(E) \in [0;+\infty]$) et si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de fonctions mesurables à valeurs réelles et qui converge en mesure vers une fonction mesurable $f$, alors on sait qu'il existe une sous-suite de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge $\mu-p.p$ vers $f$. Le point-clé de la preuve est que
$\lim_n\mu(\left\{|f_n-f|>\epsilon \right\})=0,$ c'est-à-dire $$
\forall \epsilon >0,\ \forall \eta >0,\ \exists n_0 \in \mathbb{N},\ \forall n \geq n_0,\ \mu(\left\{|f_n-f|>\epsilon \right\}) \leq \eta. \qquad (P)

$$ Ma question est : la dernière proposition $(P)$ est la définition de la limite d'une suite réelle convergeant vers 0, mais $\mu$ peut prendre la valeur $+\infty$, alors pourquoi on a le droit d'écrire la proposition $(P)$ (Il me semble qu'on a pris la valeur absolue $|.|$ comme distance sur $[0,+\infty]$) ? Il n'y aura pas de problèmes, par exemple s'il existe $p \in \mathbb{N}$ telle que $\mu(\left\{|f_p-f|>\epsilon \right\})=+\infty$ (qui ne peut pas être majoré par $\eta$) ?

Merci.