Succès, échec

jrbrazza
jrbrazza
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
On lance deux fois successivement un dé à six faces. On s'intéresse à la sortie du numéro 6.
L'univers est {1,2,3,4,5,6}² ou {S,E}² (où {S}: la face numéro 6 apparaît et {E}:la face numéro 6 n'apparaît pas)?
Sinon, ai-je raison de noter les événements comme je l'ai fait? Car je ne sais pas si, à partir de l'ensemble {1,2,3,4,5,6}, S={6} et E={1,2,3,4,5,6}, et on les note sans accolades. Je ne sais pas comment l'expliquer... j'espère que j'aurais été clair et que vous m'avez compris.
Merci d'avance.

Réponses

  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Bonjour,
    Je pense qu’il est plus simple de se contenter de l’univers $\{1,2,3,4,5,6\}^2$, et que tu lui associe la probabilité uniforme (je ne suis plus certain du vocabulaire). Maintenant l’évènement qui t’intéresse est « le $6$ est sorti au moins une fois », deux questions : à quelle partie de ton univers cela correspond? Y a-t-il un évènement plus simple à calculer pour parvenir au résultat?
  • Math Coss
    Math Coss
    Il y a plusieurs façons de modéliser un problème.
    La façon la plus naturelle, c'est de considérer les couples de faces, c'est-à-dire $\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}^2$. Des éléments de $\Omega_1$ sont par exemple $(1,1)$ (double as) ou $(2,5)$ ou $(6,2)$. Si les conditions de lancer sont normales (dés non pipés, lanceur pas tricheur) on n'a pas de raison de penser que certains tirages sont plus probables que d'autres. On met donc sur $\Omega_1$ la probabilité uniforme. Dans cette modélisation, l'événement $S$ est l'ensemble des couples $(i,j)$ tels que $i=6$ ou $j=6$ (ce qui laisse la possibilité d'avoir $i=j=6$ bien sûr). Combien y a-t-il de tels couples ? Quelle est donc la probabilité de $S$ ? On peut préférer calculer la probabilité de l'événement complémentaire $E$ formé des tirages $(i,j)$ tels que $i\le5$ et $j\le5$ : combien de tels couples ? quelle probabilité pour $E$ ? Est-ce cohérent avec celle trouvée pour $S$ ?

    Une autre façon de modéliser, en gardant un peu moins d'information, consiste à retenir seulement si chaque dé permet de gagner ou de perdre. On note $g$ si le dé donne un six et $p$ sinon. La probabilité de $g$ est, dans les conditions « normales » précédentes, $1/6$ ; celle de $p$ est $5/6$. Pour décrire un lancer de deux dés, on doit donc se donner un couple formé de deux lettres $g$ ou $p$. Autrement dit, l'univers des possibles est $\Omega_2=\{g,p\}^2$. Comme les dés sont indépendants, on met la probabilité produit : l'événement élémentaire $\{(g,g)\}$ a une probabilité $1/36$, les événements $\{(g,p)\}$ et $\{(p,g)\}$ ont pour probabilité $\frac16\times\frac56=5/36$ et l'événement $\{(p,p)\}$ a pour probabilité $25/36$. (Au fait, pourquoi ai-je mis des accolades dans la phrase précédente ?) Quel est alors l'événement « au moins un six est sorti » ? Quelle est sa probabilité ?
  • jrbrazza
    jrbrazza
    Merci, mais en fait, l'univers à deux issues que je ne comprends pas. E est un évènement comme l'événement {(1,1)} de l'univers que vous avez très bien décrit ou un événement comme A={(1,1), (2,1)}? Merci d'avance.
  • jrbrazza
    jrbrazza
    Excusez-moi, je n'ai pas encore lu le message de Math Coss.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Fais le, il a bien plus détaillé et expliqué que moi :-) Pour te répondre, $E$ est plutôt du deuxième type, mais si ta question est est-ce que $E$ est un évènement élémentaire, c’est à dire un singleton de $\Omega$, alors dans ce cas précis non. Si la question était quelle est la probabilité de faire deux fois $6$ là ce serait le cas.
  • jrbrazza
    jrbrazza
    Si U1={1,2,3,3,4,6}2 et S:<<obtenir au moins une fois 6>>. Est-ce que le deuxième univers U2 est´´construit'´ à partir de U1, où U2={S,E}2 où E est le complémentaire de S dans U1 ? Merci.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne comprends pas ce que tu notes $S$ et $E$ alors je garde mes notations $g$ et $p$. On peut établir un lien entre $\Omega_1$ et $\Omega_2$ à travers l'application $f:\{1,\dots,6\}\to\{g,p\}$ définie par $f(1)=\cdots=f(5)=p$ et $f(6)=g$ ; cette application en induit une autre, $F:\Omega_1\to\Omega_2$, $(i,j)\mapsto (f(i),f(j))$. Ces applications ont les propriétés suivantes : la probabilité de l'événement élémentaire $\{g\}$ est la probabilité de l'événement $\bigl\{i\in\{1,\dots,6\},\ f(i)=g\bigr\}$ ; idem en remplaçant $g$ par $p$. Idem pour $F$ : la probabilité de l'événement $\bigl\{(g,p)\bigr\}$ (par exemple) est la probabilité de $\bigl\{(i,j)\in\Omega_1,\ f(i)=g\ \text{et}\ f(j)=p\bigr\}$.
  • lourrran
    lourrran
    $S=\bigl\{(6,1), (6,2), (6,3) ,\ldots, (4,6), (5,6), (6,6) \bigr\}$.
    $S = \bigl\{(i,j) ,\ i=6 \text{ ou } j=6 \bigr\}$.
    $E =\bigl\{(i,j) ,\ i<6\text{ et } j<6 \bigr\}$.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gerard0
    gerard0
    Jrbrazza,
    si tu décides de travailler avec l'univers U={S, E}, les éléments de ton univers (*) sont S et E, les événements sont $\emptyset$, {S}, {E} et U. Dans ce cadre, (2,6) n'a pas d'existence, puisque tu as décidé d'oublier comment les dés ont fait au moins une fois 6.
    Reste à traiter utilement cet univers pour faire des probas. Un univers n'est qu'un ensemble, rien de plus, les notions d'événement, d'événements incompatibles ou d'événements contraires ne sont que d'autres désignations pour sous-ensembles, sous-ensembles disjoints, sous-ensembles complémentaires.

    Cordialement.

    (*) événements élémentaires, ou issues.
  • jrbrazza
    jrbrazza
    Une maladie atteint 3% d’une population de 20000 individus.
    On appelle “malade” l’individu atteint de cette maladie et “bien portant” celui qui ne l’est pas. On dispose d’un test pour la détecter. Ce test donne les résultats suivants :
    Chez les individus malades, 95% des tests sont positifs.Chez les individus bien portants, 2%,des tests sont positifs.
    On note les événements suivants :
    M:“être malade”
    T: “avoir un test positif”
    On rencontre une personne au hasard de cette population.

    Par exemple, ici l'univers est: U={M,T}
    Comme M et T sont des événements élémentaires, on devrait pas plutôt noter:
    {M}:“être malade” ?

    Merci d'avance.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Bonsoir.
    L’univers contient les réalisations possibles de l’expérience. Ici $M$ est la réalisation « l’individu choisi est malade ». Maintenant si on veut calculer la probabilité que cela se réalise, on doit considérer l’évènement $\{M\}$. Je pense que tu ne devrais pas accorder tant d’importance à tout cela, essaie de faire l’exercice, on corrigera les notations plus tard.
  • jrbrazza
    jrbrazza
    Je n'ai pas eu de problème avec l'exercice. Par exemple,si on lance un dé à six faces, on écrit pas: 1:''obtenir 1"mais {1}:"obtenir 1" ou même on peut poser A={1} et écrire A:"obtenir 1" ??
    Merci d'avance pour vos réponses.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    La nuance est là : $1$ c’est que l’on a obtenu la face qui porte le un, et $\{1\}$ c’est le possible évènement obtenir la face qui porte le numéro un. Donc on note l’évènement avec les accolades en toute rigueur. Cependant on se permet de les enlever dans certains cas.
  • gerard0
    gerard0
    Jrbrazza,

    dans ton exercice sur une population de 20000 individus, l'univers naturel est bien évidemment la population; et l'expérience aléatoire est "prendre un individu au hasard". Et on va appeler M l'événement "l'individu pris au hasard est malade"; qui se confond évidemment avec l'ensemble des malades de la population.

    Pour l'instant, tu coupes les cheveux en 4 sans aucun bénéfice, puisque le fonctionnement des probas n'est pas dans ces détails d'écriture.

    Cordialement.
  • jrbrazza
    jrbrazza
    Merci à gerard0 et Boole et Bill de m'avoir répondu. Je voudrais savoir si c'est correct ce qui est écrit ci-contre.

    U est un ensemble et P une probabilité sur U. X est une variable aléatoire et U' est l'ensemble des j valeurs x1,...,xj prises par X. PX est la probabilité sur U'. A est une partie (événement) de U' et est constituée des éléments xk,...,xn avec 1 inférieur ou égal à k, k entier inférieur ou égal à n, n entier inférieur ou égal j. PX(A)=PX({xk})+...+PX({xn})=P(X=xk)+...+P(X=xn), où (X=xi) est l'ensemble des éléments de U dont l'image par X est xi, avec i entier compris entre 1 et j.

    Merci d'avance pour vos réponses.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Je ne vois rien à reprocher à ce que tu as écrit. Tu définis la probabilité image dans un cas où X(U) est fini.

    Cordialement.
  • jrbrazza
    jrbrazza
    Merci, et donc PX peut-on dire que c'est la probabilité de la variable aléatoire X?
  • gerard0
    gerard0
    En général, ce n'est pas vraiment ce qu'on dit, soit on travaille avec la variable aléatoire X, soit on travaille avec un probabilité donnée. On peut utiliser PX dans des situations précises (généralement le tout début de l'étude des variables aléatoires), mais comme la notation P(X=2) est sans problème, on ne rajoute pas une notation et un nom.

    Cordialement.
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