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Ensemble dénombrable

Envoyé par carle1 
Ensemble dénombrable
23 avril 2019, 23:32
Bonjour, j'aimerai savoir comment vérifier que si $\mu$ est une mesure de probabilité sur $(\mathbb{R}^d,B(\mathbb{R}^d))$ alors l'ensemble $E:=\left\{x \in \mathbb{R}^d,\mu(\left\{x \right\}) \neq 0\right\}$ est dénombrable.

Merci d'avance



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/04/2019 09:17 par JLT.
Re: Ensemble denombrable
23 avril 2019, 23:41
C'est parce que la mesure est finie. Pour toute partie dénombrable $A$ de $E$ tu as par additivité dénombrable $$\mu(A) = \sum_{x \in A} \mu(\{x\}) < +\infty.$$

Si $E$ est non dénombrable, tu peux trouver un $n \geq 1$ tel qu'il existe une infinité de $x \in E$ tels que $\mu(\{x\}) \geq \frac{1}{n}$. En effet, on peut écrire $$E = \bigcup_{n \geq 1} \{x \in \mathbb R^d \mid \mu(\{x\}) \geq \frac{1}{n}\}.$$ La réunion étant dénombrable, et $E$ n'étant pas dénombrable, l'un de ces ensembles doit être non dénombrables. On obtient alors facilement une contradiction avec ce que j'ai dit au début.

C'est la même chose que pour montrer que le support d'une famille sommable est au plus dénombrable.
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