Probabilité conditionnellle

Bonjour,

Auriez-vous une idée de la signification de $g_{n}(x)=g_{n}\left(x ; \mathscr{D}_{n}\right)$ et $\mathbb{P}\left(g(X) \neq Y | \mathscr{D}_{n}\right)$ dans le contexte suivant (en cliquant sur l'image la résolution est bien meilleure):
https://snag.gy/qnOz9B.jpg

Rmq Remarque.
1) je m'emmêle car si les couples $\left\{\left(X_{1}, Y_{1}\right), \ldots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)\right\}$ sont iid j'ai "l'impression" que connaître la distribution jointe : $ \mathscr{D}_{n}$ nous donne la distribution marginale $(X,Y)$ d'un seul couple. Cela voudrait donc dire que $\mathbb{P}\left(g(X) \neq Y | \mathscr{D}_{n}\right)=\mathbb{P}\left(g(X) \neq Y\right)$.
2) D'ailleurs dans ce contexte que signifie $\mathbb{P}$ ? Est-ce la distribution jointe (mesure image) $\mathbb{P}_{X,Y}$ ?