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Réciproque du théorème de limite centrale

Envoyé par r.k95 
Réciproque du théorème de limite centrale
l’an passé
Bonjour, j'ai essayé de résoudre l'exercice suivant, dont le but est de vérifier une réciproque du théorème de limite centrale.

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r indépendantes et identiquement distribuées. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N^*},\ Y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^nX_k.$ On suppose que $(Y_n)_n$ converge en loi vers une v.a.r $Y$. L'objectif est de prouver que $X_1 \in L^2$ et que $Y$ est gaussienne (peut-être dégénérée).

Questions.
1) Prouver que :
a) si $X_3-X_2 \in L^2$ alors $X_1 \in L^2.$
b) $\forall \alpha>0,\ \lim_n\frac{n}{\alpha^2}n(1-\Re(\varphi_{X_1}(\frac{\alpha}{\sqrt{n}})))=\int_{\mathbb{R}}x^2dP_{X_1}(x)$
2) Prouver si la loi de $X_1$ est symétrique $(P_{X_1}=P_{-X_1})$ alors $X_1 \in L^2.$ (On pourra utiliser 1 b))
3) Déduire, en utilisant 1) a) et 2) et la suite de v.a.r $W_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n(X_{2k+1}-X_{2k}),$ que $X_1 \in L^2$ et que $Y$ est gaussienne.

Quelqu'un peut, s'il vous plaît, suivre l'essai que j'ai fait.

Essai.
J'ai réussi à faire 1) a) et b) (Pour le b) on peut utiliser le lemme de Fatou et l'inégalité $\frac{2(1-\cos(ux))}{u^2} \leq x^2$)

2) On a $\varphi_{Y_n}(x)=(\varphi_{X_1}(\frac{x}{\sqrt{n}}))^n,$ $\varphi_{X_1}$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$ et $\forall x \in \mathbb{R},\ \lim_n\varphi_{Y_n}(x)=\varphi_Y(x)$ alors $\varphi_Y$ est réelle. Il existe $\eta>0$ tel que $\varphi_Y(\eta)>0$ et il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq n_0,\ \varphi_{Y_n}(\eta)>0,$ donc $\lim_n n\ln(\varphi_{X_1}(\frac{\eta}{\sqrt{n}}))=\lim_n n(\varphi_{X_1}(\frac{\eta}{\sqrt{n}})-1)=\ln(\varphi_W(\eta))$ et d'après 1) b) on a $\int_{\mathbb{R}}x^2dP_{X_1}(x)=-\frac{1}{\eta^2}\ln(\varphi_Y(\eta))<+\infty$ et donc $X_1 \in L^2$ lorsque $X_1$ est de loi symétrique.

3), puisque $((X_{2n},X_{2n+1}))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de v.a indépendantes, alors $W_n$ converge en loi vers $W-U$ où $W$ et $U$ sont deux v.a indépendantes et de même loi que $Y,$ et puisque $X_3-X_2$ est de loi symétrique, on en déduit, d'après 2), que $X_3-X_2 \in L^2$ et donc, d'après 1) a) $X_1 \in L^2,$ alors on peut appliquer le TCL pour déduire que $Y$ est gaussienne $N(0,var(X_1))$, et on peut remarquer que $E[X_1]=0.$

En plus, y a-t-il une autre méthode pour vérifier le résultat du problème ? Si oui, dans quelle référence ?
Merci.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Réciproque du théorème de limite centrale
l’an passé
De mémoire c'est fait dans le Foata Fuchs chez Dunod.
Re: Réciproque du théorème de limite centrale
l’an passé
Petite remarque (qui ne répond pas à la question) : dans le TCL, c'est le théorème qui est central, pas la limite.
Re: Réciproque du théorème de limite centrale
l’an passé
Re: Réciproque du théorème de limite centrale
l’an passé
@Poirot, j'ai consulté le livre que vous avez nommé (Foata Fuchs chez Dunod), il propose une preuve mais en supposant que la loi limite est gaussienne $N(0,1)$, mais c'est pas un problème, puisque les propriétés des fonctions caractéristiques sont les memes.

J'ai trouvé aussi, dans le livre Probabilités, de Barbe-Ledoux, un énoncé similaire, c'est le théorème V.5.4 page 136, mais c'est dommage que le résultat est admis, et qu'on peut se reporter par exemple à Feller (1971, §IX.8), alors j'ai consulté les deux bouquins de Feller (volume 1 et 2) paragraphe §IX.8, et j'ai rien trouvé concernant le sujet, Il me semble qu'il y a une faute, quelqu'un a une idée si ce sujet existe dans le livre de Feller?
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