Réciproque du théorème de limite centrale

Bonjour, j'ai essayé de résoudre l'exercice suivant, dont le but est de vérifier une réciproque du théorème de limite centrale.

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r indépendantes et identiquement distribuées. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N^*},\ Y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^nX_k.$ On suppose que $(Y_n)_n$ converge en loi vers une v.a.r $Y$. L'objectif est de prouver que $X_1 \in L^2$ et que $Y$ est gaussienne (peut-être dégénérée).

Questions.
1) Prouver que :
a) si $X_3-X_2 \in L^2$ alors $X_1 \in L^2.$
b) $\forall \alpha>0,\ \lim_n\frac{n}{\alpha^2}n(1-\Re(\varphi_{X_1}(\frac{\alpha}{\sqrt{n}})))=\int_{\mathbb{R}}x^2dP_{X_1}(x)$
2) Prouver si la loi de $X_1$ est symétrique $(P_{X_1}=P_{-X_1})$ alors $X_1 \in L^2.$ (On pourra utiliser 1 b))
3) Déduire, en utilisant 1) a) et 2) et la suite de v.a.r $W_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n(X_{2k+1}-X_{2k}),$ que $X_1 \in L^2$ et que $Y$ est gaussienne.

Quelqu'un peut, s'il vous plaît, suivre l'essai que j'ai fait.

Essai.
J'ai réussi à faire 1) a) et b) (Pour le b) on peut utiliser le lemme de Fatou et l'inégalité $\frac{2(1-\cos(ux))}{u^2} \leq x^2$)

2) On a $\varphi_{Y_n}(x)=(\varphi_{X_1}(\frac{x}{\sqrt{n}}))^n,$ $\varphi_{X_1}$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$ et $\forall x \in \mathbb{R},\ \lim_n\varphi_{Y_n}(x)=\varphi_Y(x)$ alors $\varphi_Y$ est réelle. Il existe $\eta>0$ tel que $\varphi_Y(\eta)>0$ et il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq n_0,\ \varphi_{Y_n}(\eta)>0,$ donc $\lim_n n\ln(\varphi_{X_1}(\frac{\eta}{\sqrt{n}}))=\lim_n n(\varphi_{X_1}(\frac{\eta}{\sqrt{n}})-1)=\ln(\varphi_W(\eta))$ et d'après 1) b) on a $\int_{\mathbb{R}}x^2dP_{X_1}(x)=-\frac{1}{\eta^2}\ln(\varphi_Y(\eta))<+\infty$ et donc $X_1 \in L^2$ lorsque $X_1$ est de loi symétrique.

3), puisque $((X_{2n},X_{2n+1}))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de v.a indépendantes, alors $W_n$ converge en loi vers $W-U$ où $W$ et $U$ sont deux v.a indépendantes et de même loi que $Y,$ et puisque $X_3-X_2$ est de loi symétrique, on en déduit, d'après 2), que $X_3-X_2 \in L^2$ et donc, d'après 1) a) $X_1 \in L^2,$ alors on peut appliquer le TCL pour déduire que $Y$ est gaussienne $N(0,var(X_1))$, et on peut remarquer que $E[X_1]=0.$

En plus, y a-t-il une autre méthode pour vérifier le résultat du problème ? Si oui, dans quelle référence ?
Merci.