Loi du quotient de deux variables aléatoires

On applique la caractérisation fonctionnelle de la loi.
On va procéder au changement de variables suivant : $$x=\frac{u}{v},\quad y=u,\quad \mbox{ i.e. }~ v=\frac{y}{x},~u=y.
$$ Et, on obtient alors $$dx=\frac{du}{v}-\frac{u}{v^{2}}dv\quad \mbox{ et } \quad dy=du \quad \mbox{ d'où }\quad dudv=\frac{y}{x^{2}}dxdy.

$$ Soit $\phi$ une fonction mesurable bornée. On a alors
\begin{align*}
\mathbb{E}[\phi(Z)] & = \int_{]0,+\infty[^{2} }\phi \big( \ln(\frac{u}{v}) \big) e^{-(u+v)}dudv \\
& = \int_{]0,+\infty[^{2}}\phi\big( \ln(x) \big) e^{-y(1+\frac{1}{x})}\times \frac{y}{x^{2}}dxdy\\
& = \int_{\mathbb{R}^{+*}}\frac{\phi(\ln(x))}{x^{2}}\Big(\int_{0}^{+\infty}e^{-y(1+\frac{1}{x})}ydy\Big) dx\\
& = \int_{\mathbb{R}^{+*}}\frac{\phi(\ln(x))}{x^{2}}\times \Big(\frac{x}{x+1}\Big)^{2}dx\\
& = \int_{\mathbb{R}} \phi(z)\times \frac{e^{z}}{(e^{z}+1)^{2}}dz,~ \mbox{ par le changement de variables } z=\ln(x),~x=e^{z}

\end{align*} Et ainsi, la densité de $Z$ est $~\displaystyle z\mapsto \frac{e^{z}}{(e^{z}+1)^{2}}.$