Loi du quotient de deux variables aléatoires
Bonjour. u et v sont 2 var indépendantes suivant la loi explique de paramètre 1
Densité de Z = ln(u/v). ?
Une aide est la bienvenue merci.
S_U
Densité de Z = ln(u/v). ?
Une aide est la bienvenue merci.
S_U
Réponses
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Bonsoir,
Qu'est-ce que la loi "explique" ?
Faute de frappe ?
Si $U$ et $V$ prennent presque sûrement leurs valeurs dans $\R_+^*$, voici un plan de travail:
- déterminer une densité de $\ln(U)$ ;
- déterminer une densité de $-\ln(V)$ ;
- en déduire une densité de $\ln(U)+(-\ln(V))$ en utilisant le lemme des coalitions et un produit de convolution.
- conclure. -
On applique la caractérisation fonctionnelle de la loi.
On va procéder au changement de variables suivant : $$x=\frac{u}{v},\quad y=u,\quad \mbox{ i.e. }~ v=\frac{y}{x},~u=y.
$$ Et, on obtient alors $$dx=\frac{du}{v}-\frac{u}{v^{2}}dv\quad \mbox{ et } \quad dy=du \quad \mbox{ d'où }\quad dudv=\frac{y}{x^{2}}dxdy.
$$ Soit $\phi$ une fonction mesurable bornée. On a alors
\begin{align*}
\mathbb{E}[\phi(Z)] & = \int_{]0,+\infty[^{2} }\phi \big( \ln(\frac{u}{v}) \big) e^{-(u+v)}dudv \\
& = \int_{]0,+\infty[^{2}}\phi\big( \ln(x) \big) e^{-y(1+\frac{1}{x})}\times \frac{y}{x^{2}}dxdy\\
& = \int_{\mathbb{R}^{+*}}\frac{\phi(\ln(x))}{x^{2}}\Big(\int_{0}^{+\infty}e^{-y(1+\frac{1}{x})}ydy\Big) dx\\
& = \int_{\mathbb{R}^{+*}}\frac{\phi(\ln(x))}{x^{2}}\times \Big(\frac{x}{x+1}\Big)^{2}dx\\
& = \int_{\mathbb{R}} \phi(z)\times \frac{e^{z}}{(e^{z}+1)^{2}}dz,~ \mbox{ par le changement de variables } z=\ln(x),~x=e^{z}
\end{align*} Et ainsi, la densité de $Z$ est $~\displaystyle z\mapsto \frac{e^{z}}{(e^{z}+1)^{2}}.$ -
oui faute de frappe ,merci de votre réponse ,elle m'a aidé;
loi exponentielle et non explique (écriture automatique que je n'ai pas controlé. mille excuses merci. S_U -
bonjour, MERCI BEAUCOUP DE VOTRE TRAVAIL TReS clair
bonne fin de journée. S_U -
Bonjour j'ai apprécié vos conseils, la var suit une loi exponentielle de paramètre 1,
je ne trouve pas la densité de ln(u) ; merci de votre aide.
S_U
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Bonjour!
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