Borel Cantelli

Peux-tu préciser ta pensée ? Pour moi le lemme de Borel-Cantelli permet de montrer que la probabilité qu'une infinité d'événements se produisent est nulle. En particulier, on peut en déduire des choses de la forme "$X_n$ converge vers $X$ presque-sûrement" si pour tout $\varepsilon > 0$, les événements $\{|X_n-X| > \varepsilon\}$ vérifient les hypothèses du lemme (il y a une subtilité d'uniformité que je cache sous le tapis). Je ne vois pas le lien avec la convergence $L^2$.

Ça devrait être clair dans la démonstration non ? J'ai donné l'argument ci-dessus qui ne mentionne jamais la convergence $L^2$. Si tu te sers de l'inégalité de Markov pour montrer que $$\mathbb P(|X_n-X| > \varepsilon) \leq \frac{\mathbb E((X_n-X)^2)}{\varepsilon^2},$$ puis que tu te sers d'une estimation $L^2$ te permettant de montrer que la série $$\sum_n \mathbb E((X_n-X)^2)$$ converge, c'est spécifique à ton problème, ce n'est pas un fait général. Il y a d'autres manières de montrer la convergence de la série $$\sum_n \mathbb P(|X_n-X| > \varepsilon).$$