Espérance conditionnelle

Bonjour
J'ai une question au sujet de l’espérance conditionnelle de deux variables aléatoires.
Voici mes hypothèses.

Soit $W_t$ un mouvement brownien.
$\Gamma_t$, $\mu_t$ et $\sigma_t$ trois paramètres déterministes tels que
$\lambda_t = \Gamma_t\exp(X_t)$
$dX_t=-\mu_tdt+\sigma_tdW_t$
$X_0$
soit $T_0, T_1 \in [0,T]$
Je cherche à calculer $\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_1}{\lambda_sds)})$

En conditionnant par rapport à la variable $X_{T_0}$
$\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_1}{\lambda_sds}))=\mathbb{E}(\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_1}{\lambda_sds)}|X_{T_0})).$
Or \begin{align*}
\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_1}{\lambda_sds)}|X_{T_0})&=\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_0}{\lambda_sds)}\exp(-\int_{T_0}^{T_1}{\lambda_sds)}|X_{T_0}) \\
&=\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_0}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}\exp(-\int_{T_0}^{T_1}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}|X_{T_0})

\end{align*} La question est la suivante.
Conditionnellement à $X_{T_0}$, $\exp(-\int_{0}^{T_0}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}$ et $\exp(-\int_{T_0}^{T_1}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}$ sont elles indépendantes ?

En d'autres termes, a-t-on
$\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_0}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}\exp(-\int_{T_0}^{T_1}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}|X_{T_0})$
$\qquad=\mathbb{E}(\exp(-\int_{0}^{T_0}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}|X_{T_0})\mathbb{E}(\exp(-\int_{T_0}^{T_1}{\Gamma_s\exp(X_s)ds)}|X_{T_0})$ ?

Merci d'avance.