Temps d'attente d'un r-ième succès
Bonjour, j'ai une question concernant le corrigé de cet exercice, je l'ai écrite en vert tout en haut à gauche sur la page 02 du corrigé.
En effet, je voudrais savoir si on est vraiment obligé de s'intéresser à "k(k+1)P(Xr=k)" pour trouver le moment d'ordre 2 ?
On ne peut pas faire simplement la méthode habituelle de quand on cherche à déterminer un moment d'ordre 2, c'est-à-dire s'intéresser à "k^2 P(Xr=k)" ?
lien énoncé: https://goopics.net/i/2qgge
lien page 01 corrigé: https://goopics.net/i/8JZZp
lien page 02 corrigé: https://goopics.net/i/OZ22Q
Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée
En effet, je voudrais savoir si on est vraiment obligé de s'intéresser à "k(k+1)P(Xr=k)" pour trouver le moment d'ordre 2 ?
On ne peut pas faire simplement la méthode habituelle de quand on cherche à déterminer un moment d'ordre 2, c'est-à-dire s'intéresser à "k^2 P(Xr=k)" ?
lien énoncé: https://goopics.net/i/2qgge
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Réponses
Bref, l'idée c'est effectivement ce que tu dis. Sauf qu'à calculer, comme série, ça craint.
Mais il y a des polynômes $P$ tels que $E(P(X_r))$ est plus sympa à calcuer (pas super-facile, mais plus que si c'était pire) que les $E(X_r^k)$, donc les polynômes $P$ (en l'occurrence le polynôme $X^2$), on les exprime dans la base des gentils polynômes.
Ce sont des probabilités basées sur la recette du pâté à l'alouette. Ce n'est pas un cheval, une alouette, mais un gros calcul de série, un théorème de transfert pour les probas.
Bien sûr, le calcul est bien plus simple si on se rend compte que $X_r$ est la somme de $r$ variables géométriques indépendantes...
En effet je trouve "r(1-p+pr)/p^2 = E((Xr)^2)", alors que le corrigé me dit que je suis censé trouver : E((Xr)^2) = (r(r+1)-rp)/ p^2
Comment cela se fait-il ?
[Préférer "[i]Joindre un fichier au message[/i]" à donner un lien sur internet qui disparaîtra tôt ou tard. AD]
C'était bien vu votre remarque comme quoi Xr est la somme de r variables géométriques indépendantes, je n'y avais pas pensé du tout et ça évite des calculs monstrueux avec le passage par la généralisation de la petite formule qui n'est pas évidente à retenir ainsi que par la formule du binôme négatif :-)
Merci :-)