Temps d'attente d'un r-ième succès

Shadows Asgard
Shadows Asgard
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, j'ai une question concernant le corrigé de cet exercice, je l'ai écrite en vert tout en haut à gauche sur la page 02 du corrigé.
En effet, je voudrais savoir si on est vraiment obligé de s'intéresser à "k(k+1)P(Xr=k)" pour trouver le moment d'ordre 2 ?
On ne peut pas faire simplement la méthode habituelle de quand on cherche à déterminer un moment d'ordre 2, c'est-à-dire s'intéresser à "k^2 P(Xr=k)" ?

lien énoncé: https://goopics.net/i/2qgge
lien page 01 corrigé: https://goopics.net/i/8JZZp
lien page 02 corrigé: https://goopics.net/i/OZ22Q

Merci d'avance pour votre réponse
Bonne journée

Réponses

  • aléa
    aléa
    Bon, effectivement, ce sujet et ce corrigé sont un peu désespérants.
    Bref, l'idée c'est effectivement ce que tu dis. Sauf qu'à calculer, comme série, ça craint.
    Mais il y a des polynômes $P$ tels que $E(P(X_r))$ est plus sympa à calcuer (pas super-facile, mais plus que si c'était pire) que les $E(X_r^k)$, donc les polynômes $P$ (en l'occurrence le polynôme $X^2$), on les exprime dans la base des gentils polynômes.

    Ce sont des probabilités basées sur la recette du pâté à l'alouette. Ce n'est pas un cheval, une alouette, mais un gros calcul de série, un théorème de transfert pour les probas.

    Bien sûr, le calcul est bien plus simple si on se rend compte que $X_r$ est la somme de $r$ variables géométriques indépendantes...
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    D'accord merci, donc ce n'est pas impossible on peut faire simplement la méthode habituelle de quand on cherche à déterminer un moment d'ordre 2, c'est-à-dire s'intéresser à "k^2 P(Xr=k)" à condition de se rendre compte que Xr est la somme de r variables géométriques indépendantes ?
  • aléa
    aléa
    Non, si tu te rends compte que c'est la somme de $r$ variables indépendantes, la variance est la somme des variances, il suffit de connaître la variance d'une loi géométrique.
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Ah d'accord merci. Seulement j'ai essayé cette méthode pour trouver le moment d'ordre 2 de Xr, mais je ne trouve pas le bon résultat comme vous pouvez le voir dans le lien de la tentative que j'ai rédigé dans le lien suivant: https://goopics.net/i/41vPj ci-dessous
    En effet je trouve "r(1-p+pr)/p^2 = E((Xr)^2)", alors que le corrigé me dit que je suis censé trouver : E((Xr)^2) = (r(r+1)-rp)/ p^2
    Comment cela se fait-il ?

    [Préférer "[i]Joindre un fichier au message[/i]" à donner un lien sur internet qui disparaîtra tôt ou tard. AD]86658
  • aléa
    aléa
    L'erreur est à la 3e ligne en partant de la fin.
  • Shadows Asgard
    Shadows Asgard
    Ah oui autant pour moi, ça marche maintenant !
    C'était bien vu votre remarque comme quoi Xr est la somme de r variables géométriques indépendantes, je n'y avais pas pensé du tout et ça évite des calculs monstrueux avec le passage par la généralisation de la petite formule qui n'est pas évidente à retenir ainsi que par la formule du binôme négatif :-)

    Merci :-)
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