Question formule du binôme de Newton
Bonjour, j'ai besoin d'aide concernant la question 5)c) de cet exercice (je l'ai indiqué en vert en bas dans le lien du corrigé).
En effet, je voudrais si lorsque l'on écrit la formule du binôme de Newton dans la question 5)c), était-il obligé d'écrire les matrices "P" et "alpha Q" dans cet ordre dans la formule du binôme de Newton ?
N'était-il pas possible aussi de mettre dans la formule du binôme de Newton "(alpha Q)^k et P^(n-k) ?
Et de manière générale, quand on veut calculer une somme de matrices à la puissance n ième grâce à la formule du binôme de Newton, existe-t-il une règle pour savoir dans quel ordre écrire les matrices ?
lien énoncé : https://goopics.net/i/wabR4
lien corrigé: https://goopics.net/i/278ge
Merci d'avance pour votre réponse.
Bonne journée.
En effet, je voudrais si lorsque l'on écrit la formule du binôme de Newton dans la question 5)c), était-il obligé d'écrire les matrices "P" et "alpha Q" dans cet ordre dans la formule du binôme de Newton ?
N'était-il pas possible aussi de mettre dans la formule du binôme de Newton "(alpha Q)^k et P^(n-k) ?
Et de manière générale, quand on veut calculer une somme de matrices à la puissance n ième grâce à la formule du binôme de Newton, existe-t-il une règle pour savoir dans quel ordre écrire les matrices ?
lien énoncé : https://goopics.net/i/wabR4
lien corrigé: https://goopics.net/i/278ge
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Réponses
Quand on applique une formule, ça donne un certain ordre d'écriture. Rien ne t'empêche de regarder si une autre écriture ($P+\alpha Q=\alpha Q + P$) ne te donnerait pas une autre écriture.
Quant à l'ordre des matrices, comme on ne peut appliquer la formule que si les matrices commutent, ça n'a pas trop d'importance : $PQ=QP$.
Cordialement.
NB : Ne pas trop s'attacher à l'écriture, mais plutôt à l'application stricte des formules et théorèmes.
Mais donc ici pour faire la question il était possible aussi de mettre dans la formule du binôme de Newton "(alpha Q)^k et P^(n-k) ?
Rappel : $P+\alpha Q=\alpha Q + P$
Et j'ai une autre question, concernant la question 5)d), car j'ai l'impression qu'il y a une erreur dans le corrigé (c'est ce que j'ai indiqué en vert dans la pièce-jointe du corrigé).
En effet, je pense qu'il y a une erreur, car la matrice indiquée n'est pas correcte, non ?
Et j'ai une autre question, concernant la question 3), car j'ai l'impression qu'il y a une erreur dans le corrigé (c'est ce que j'ai indiqué en vert dans la pièce-jointe du corrigé).
En effet, je pense qu'il y a une erreur, car ce n'est pas puissance "(h+1)", mais "(h-1)" plutôt, non ?
Merci d'avance pour votre réponse
\begin{align*}
M(a)^N&=(1-3a)^NI_3+\Big(\frac{1}{3}\sum_{k=1}^NC^k_Na^k3^{k}(1-3a)^{N-k}\Big)J \\
&=(1-3a)^NI_3+\frac{1}{3}\left((1-3a+3a)^N-(1-3a)^N\right)J=(1-3a)^NI_3+\frac{1}{3}\left(1-(1-3a)^N\right)J
\end{align*}