Une application classique est la démonstration suivante du théorème de Lusin.
Soit $f : [0;1] \to \R$ une fonction mesurable. Il existe une suite de fonctions continues $(f_n) : [0;1] \to \R$ telle que $f_n \to f$ en norme $L^1$. Quitte à extraire on peut supposer que $(f_n)$ converge vers $f$ presque partout et, par le théorème d'Egoroff, pour tout $\varepsilon >0$ il existe un compact $K$ de mesure supérieure à $1-\varepsilon$ tel que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $K$. On en déduit le théorème de Lusin : pour tout $\varepsilon>0$ il existe un compact $K\subset [0;1]$ de mesure supérieure à $1-\varepsilon$ tel que $f_{|K}$ soit continue.
J'ai regardé dans un livre pour la démonstration du fait que $C_{c}(X,R)$ est dense dans $L^{p}$ lorsque $X$ est un espace topologique séparé localement compact muni de la tribu des boréliens et $\mu$ une mesure de Radon.
L'argument de l'auteur de constater qu'il suffit d'approcher l'indicatrice de $E$ avec $E$ un borélien de mesure fini.
Mais, voyez vous, je n'arrive qu'à faire marcher cette argument (restreindre à des ensembles de mesure fini) que sur si $X$ est $\sigma$ compact. Je pense qu'il doit exister des LCH non $\sigma$ compact.
Voyez-vous pourquoi il suffit de le montrer pour $E$ de mesure fini ?
Supposons $f$ positive pour simplifier. On regarde les ensembles $A_n = f^{-1}([1/n,+\infty[)$ et la suite de fonctions $g_n = \chi_{A_n} f$. Les $A_n$ sont de mesure finie (sinon $f$ n'est pas $L^1$) et les $g_n$ convergent vers $f$ dans $L^1$ (et presque partout aussi). On peut donc approcher d'aussi près qu'on veut (en norme $L^1$) la fonction $f$ par une fonction nulle en dehors d'un ensemble de mesure finie.
Je ne sais pas si ça répond à ta question ceci dit, comme je n'ai pas le reste de la démonstration.
Par exemple, le théorème d'Egorov est un ingrédient de la preuve de la caractérisation de la convergence dans $L^{1}$ basiquement :
équiintégrabilité et convergence en mesure (sur un espace mesuré de mesure finie) : le théorème de convergence dominée en est une pâle conséquence.
Sinon, le théorème d'Egorov est essentiellement un résultat théorique (il en existe des variantes quantitatives/effectives dans différents contextes,notamment pour montrer des propriétés fines des fonctions comme pour certaines fonctions appartenant à des espaces de Sobolev ou de Besov).
Réponses
Soit $f : [0;1] \to \R$ une fonction mesurable. Il existe une suite de fonctions continues $(f_n) : [0;1] \to \R$ telle que $f_n \to f$ en norme $L^1$. Quitte à extraire on peut supposer que $(f_n)$ converge vers $f$ presque partout et, par le théorème d'Egoroff, pour tout $\varepsilon >0$ il existe un compact $K$ de mesure supérieure à $1-\varepsilon$ tel que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $K$. On en déduit le théorème de Lusin : pour tout $\varepsilon>0$ il existe un compact $K\subset [0;1]$ de mesure supérieure à $1-\varepsilon$ tel que $f_{|K}$ soit continue.
L'argument de l'auteur de constater qu'il suffit d'approcher l'indicatrice de $E$ avec $E$ un borélien de mesure fini.
Mais, voyez vous, je n'arrive qu'à faire marcher cette argument (restreindre à des ensembles de mesure fini) que sur si $X$ est $\sigma$ compact. Je pense qu'il doit exister des LCH non $\sigma$ compact.
Voyez-vous pourquoi il suffit de le montrer pour $E$ de mesure fini ?
Je ne sais pas si ça répond à ta question ceci dit, comme je n'ai pas le reste de la démonstration.
équiintégrabilité et convergence en mesure (sur un espace mesuré de mesure finie) : le théorème de convergence dominée en est une pâle conséquence.
Sinon, le théorème d'Egorov est essentiellement un résultat théorique (il en existe des variantes quantitatives/effectives dans différents contextes,notamment pour montrer des propriétés fines des fonctions comme pour certaines fonctions appartenant à des espaces de Sobolev ou de Besov).