Mouvement brownien

Bonjour,
Soit $(\xi_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distibuées, centrées, réduites. On note $S_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$. Je cherche à montrer que : \[\forall \varepsilon > 0, \forall T > 0, \lim_{\delta \rightarrow 0} \limsup_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(\max_{1 \leqslant k \leqslant \lfloor nT \rfloor, 1 \leqslant j \leqslant \lfloor n\delta \rfloor} |S_{k+j} - S_k| > \varepsilon \sqrt{n} ) = 0\]
Cette propriété sort de ce document (page 8, lemme 1.18) qui décrit (entre autres) une construction du mouvement brownien. Il est probable qu'elle découle de la propriété précédente (page 8, lemme 1.17) : \[\forall \varepsilon > 0, \lim_{\delta \rightarrow 0} \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\delta} \mathbb{P}(\max_{1 \leqslant j \leqslant \lfloor n\delta \rfloor} |\xi_j| > \varepsilon \sqrt{n} ) = 0\]
Je n'ai réussi à démontrer ni l'une ni l'autre. Toutes les majorations que j'essaie d'obtenir grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev sont trop grossières. J'ai seulement réussi à montrer \[\forall \varepsilon > 0, \lim_{\delta \rightarrow 0} \limsup_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(\max_{1 \leqslant j \leqslant \lfloor n\delta \rfloor} |\xi_j| > \varepsilon \sqrt{n} ) = 0\] en utilisant le fait que $\mathbb{P}(\max_{1 \leqslant j \leqslant \lfloor n\delta \rfloor} |\xi_j| > \varepsilon \sqrt{n} ) \leqslant 1 - (1 - \frac{1}{\varepsilon^2 n})^{\lfloor n \delta \rfloor} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 1 - \exp(-\frac{\delta}{\varepsilon^2}) \sim_{\delta \rightarrow 0} \frac{\delta}{\varepsilon^2}$ (grâce à Bienaymé-Tchébychev et l'indépendance) ; et je ne vois pas d'où le $\frac{1}{\delta}$ est sensé venir.
Merci d'avance pour votre aide.
Calli