La clé mystérieuse
Bonjour tout le monde voici un exercice que je ne suis pas arrivé a résoudre, j’espère que vous pourrez m'aider.
On dispose d'un trousseau de n clés dont une seule permet d'ouvrir la porte.
1- On suppose que l'on teste une clé au hasard et que l'on recommence tant que l'on n'a pas réussi à ouvrir la porte. Ici les essais sont supposés indépendants les uns les autres et à chaque échec, on remet la clé essayée dans le trousseau. À chaque essai, le choix de toute clé est équiprobable.
a) Quelle est la probabilité de trouver la bonne clé au K-ème essai ?
b) Quelle est la probabilité de ne jamais trouver la bonne clé ?
2- Idem, mais cette fois-ci on suppose que l'on choisit chaque clé parmi celles que l'on n'a pas testées juste avant.
PS. J'ai essayé de simplifier l'exercice on considérant une urne contenant n boules dont 1 seule est noire (la clé) et n-1 blanches, mais je n'y suis pas arrivé.
On dispose d'un trousseau de n clés dont une seule permet d'ouvrir la porte.
1- On suppose que l'on teste une clé au hasard et que l'on recommence tant que l'on n'a pas réussi à ouvrir la porte. Ici les essais sont supposés indépendants les uns les autres et à chaque échec, on remet la clé essayée dans le trousseau. À chaque essai, le choix de toute clé est équiprobable.
a) Quelle est la probabilité de trouver la bonne clé au K-ème essai ?
b) Quelle est la probabilité de ne jamais trouver la bonne clé ?
2- Idem, mais cette fois-ci on suppose que l'on choisit chaque clé parmi celles que l'on n'a pas testées juste avant.
PS. J'ai essayé de simplifier l'exercice on considérant une urne contenant n boules dont 1 seule est noire (la clé) et n-1 blanches, mais je n'y suis pas arrivé.
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Réponses
Pour la deuxième : à quel tirage le succès peut-il arriver ? y a-t-il un tirage pour lequel la probabilité de succès est strictement supérieure à celle pour les autres ?
Fais le calcul pour k=1, puis k=2, puis k=3 éventuellement. Logiquement, tu devrais avoir l'intuition nécessaire pour deviner la forme générale, et ensuite pour la démonstration, une récurrence devrait faire l'affaire.
a) Utilise la formule des probabilités composées (tu es censé savoir faire cela depuis la 1ère, même si en 1ère, on appelait cela "suivre les branches d'un arbre de probabilités" !!)
b) Il faut utiliser un théorème qui ne se voit qu'en spé : la "continuité décroissante". En gros, ce théorème dit que la probabilité d'une intersection infinie est égale à la limite des probabilités des intersections finies.
Il faut surtout savoir écrire ce qu'on te demande en terme d'événements (ici indicés par le nombre d'essais effectués) pour pouvoir ensuite reconnaître des situations connues (intersection finie d'événements, intersection infinie d'événements, etc...)