Sous-martingales

Bonjour, si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une sous-martingale positive pour la filtration $(\mathcal{F}_n)_n$ et $F$ est une fonction croissante, positive, convexe et de dérivée $f$ positive.
Soit $X'_{n}=\max_{0 \leq k \leq n}{X_k};Y_n=F(X'_n)-(X'_n-X_n)f(X'_n)$


Prouver que $(Y_n)_n$ est une sous-martingale.

Il ont donné une indication : prouver que $Y_{n+1} - Y_n \geq f(X'_n)(X_{n+1}-X_n).$


On a $Y_{n+1}-Y_n=F(X'_{n+1})-(X'_{n+1}-X_{n+1})f(X'_{n+1})-F(X'_n)+(X'_n-X_n)f(X'_n)$$=F(X'_{n+1})-F(X'_n)+f(X'_n)(X'_n-X'_{n+1}+X_{n+1}-X_n)$
puisque $(X'_{n+1}-X_{n+1})f(X'_{n+1})=(X'_{n+1}-X_{n+1})f(X'_{n})$

comment déduire alors que:
$F(X'_{n+1})-F(X'_n)+f(X'_n)(X'_n-X'_{n+1}+X_{n+1}-X_n) \geq f(X'_n)(X_{n+1}-X_n)$

Merci.