Aide pour un exo sur v.a.
Salut à tous
Quelqu'un peut me dire est si ce que j'ai fait est juste ou pas!! Voilà l'exercice.
Sur une population de $360$ entreprises dont $54$ réalisent un chiffre d'affaires (CA) supérieur à $20$ millions d'Euro, un échantillon de $36$ entreprises a été choisi au hasard. Soit $X$ une v.a. désignant le nombre d'entreprises réalisant des chiffres supérieurs à $20$ millions d'Euro et soit $A$ l'événement "X>20 millions d'Euro". $X$ suit une binomiale.
1) Calculer le nombre moyen des entreprises qui réalisent des chiffres d'affaires dépassant $20$ millions d'Euro et la dispersion autour de ce nombre moyen.
2) Quelle est la probabilité d'avoir :
a) un nombre d'entreprises, ayant l'événement $A$, inferieur ou égal à $6$ ?
b) un nombre d'entreprises, ayant l'événement $A$, inferieur ou égal à $8$ ?
c) un nombre d'entreprises, ayant l'événement $A$, compris entre $6$ et $8$ ?
Voilà ce que j'ai fait.
1) On a $X\sim \mathfrak{B}(n; p)$, où $n=36$ et $p=\frac{54}{360}=0,15$. Par suite: $E(X) = np= 5,4$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=2,14$.
2) On va approchée la loi $\mathfrak{B}(36; 0,15)$ par la loi normale $\mathcal N\left(5,4; 2,14\right)$. Par suite :
a) $\mathbb P(X\leq 6) = \mathbb P \left[\frac{X-5,4}{2,14}\leq \frac{6-5,4}{2,14}\right] =\mathbb P[Y\leq 0,28] = 0,6103$, où j'ai utilisé ici la table de la loi normale centrée réduite pour calculer $\mathbb P[Y\leq 0,28] $.
b) $\mathbb P(X\leq 8) = \mathbb P \left[\frac{X-5,4}{2,14}\leq \frac{8-5,4}{2,14}\right] =\mathbb P[Y\leq 1,21] = 0,8869$.
c) $\mathbb P(6 \leq X \leq 8)= \mathbb P[X\leq 8] - \mathbb P[X\leq 6]=0,8869 - 0,6103 = 0,2766$;
Merci d'avance.
Quelqu'un peut me dire est si ce que j'ai fait est juste ou pas!! Voilà l'exercice.
Sur une population de $360$ entreprises dont $54$ réalisent un chiffre d'affaires (CA) supérieur à $20$ millions d'Euro, un échantillon de $36$ entreprises a été choisi au hasard. Soit $X$ une v.a. désignant le nombre d'entreprises réalisant des chiffres supérieurs à $20$ millions d'Euro et soit $A$ l'événement "X>20 millions d'Euro". $X$ suit une binomiale.
1) Calculer le nombre moyen des entreprises qui réalisent des chiffres d'affaires dépassant $20$ millions d'Euro et la dispersion autour de ce nombre moyen.
2) Quelle est la probabilité d'avoir :
a) un nombre d'entreprises, ayant l'événement $A$, inferieur ou égal à $6$ ?
b) un nombre d'entreprises, ayant l'événement $A$, inferieur ou égal à $8$ ?
c) un nombre d'entreprises, ayant l'événement $A$, compris entre $6$ et $8$ ?
Voilà ce que j'ai fait.
1) On a $X\sim \mathfrak{B}(n; p)$, où $n=36$ et $p=\frac{54}{360}=0,15$. Par suite: $E(X) = np= 5,4$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=2,14$.
2) On va approchée la loi $\mathfrak{B}(36; 0,15)$ par la loi normale $\mathcal N\left(5,4; 2,14\right)$. Par suite :
a) $\mathbb P(X\leq 6) = \mathbb P \left[\frac{X-5,4}{2,14}\leq \frac{6-5,4}{2,14}\right] =\mathbb P[Y\leq 0,28] = 0,6103$, où j'ai utilisé ici la table de la loi normale centrée réduite pour calculer $\mathbb P[Y\leq 0,28] $.
b) $\mathbb P(X\leq 8) = \mathbb P \left[\frac{X-5,4}{2,14}\leq \frac{8-5,4}{2,14}\right] =\mathbb P[Y\leq 1,21] = 0,8869$.
c) $\mathbb P(6 \leq X \leq 8)= \mathbb P[X\leq 8] - \mathbb P[X\leq 6]=0,8869 - 0,6103 = 0,2766$;
Merci d'avance.
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Réponses
Je suppose que $X$ est le nombre d'entreprises réalisant un CA supérieur à 20 millions d'euros dans un échantillon de 36 entreprises prises au hasard parmi les 360. Dans ce cas, X suit une loi hypergéométrique, que l'on peut approximer par une loi binomiale B(36 ; 0,15).
J'ai calculé les probabilités directement avec la loi binomiale, je trouve $P(X\le 6) = 0,71, P(X\le 8) =0,92$ et $P(6\le X \le 8) = P(X\le 8) - P(X\le 5) =0,379$.
Ton dernier calcul est manifestement faux, puisque tu élimines 6 des valeurs possibles. Pour les deux autres, l'approximation par la loi Normale n'est pas une très bonne idée ici. par exemple, pour une loi Normale, la quasi totalité des valeurs sont dans l'intervalle [ moyenne - 3 écarts type ; moyenne + 3 écarts type] qui dans ton cas déborde sur les nombres négatifs. De plus, pour la loi Normale, la proba d'avoir exactement 6 est 0, alors qu'ici, c'est 0,169. On peut corriger cet effet avec la "correction de continuité" qui consiste à calculer P(X<6,5), P(X<8,5) et P(5,5<X<8,5) puisque la loi Normale "étend" les probabilités autour des valeurs.
Sinon, tes calculs sur la loi Normale sont bons.
Cordialement.