Mesure image.
Bonjour à tous,
Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur $X$ et $Y$ respectivement.
Sait-on sous quel condition il existe $h : X \rightarrow Y$ tel que $ \nu = h\text{#}\mu$. Avec $ h\text{#}\mu(B) = \mu(h^{-1}(B))$.
Je vous souhaite une bonne journée.
Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur $X$ et $Y$ respectivement.
Sait-on sous quel condition il existe $h : X \rightarrow Y$ tel que $ \nu = h\text{#}\mu$. Avec $ h\text{#}\mu(B) = \mu(h^{-1}(B))$.
Je vous souhaite une bonne journée.
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Réponses
Pour lancer un peu le débat voici deux idées :
1) Une telle application n'existe pas toujours ! Par exemple $X = Y = \{0,1\}$, $\mu = 1/3 \delta_{0} + 2/3 \delta_{1}$, $\nu = 1/2(\delta_{0} + \delta_{1})$
2) Un autre exemple : $X = Y = R^{n}$ et $\mu := f.\mathcal{L}$ et $\mu$ deux mesures de probabilités alors il existe $\phi$ une fonction convexe tel que $\nabla{\phi} \text{#} \mu = \nu$.
Je vous souhaite une excellente fin de journée.