Convergence en loi et uniforme intégrabilité

Bonjour, s'il vous plaît, aidez-moi pour résoudre cet exercice.

Soit $(X_n)_n$ est une suite de v.a.r convergeant en loi vers $X.$ On suppose qu'il existe $p \geq 1$ tel que $\lim_nE(|X_n|^p)=E(|X|^p).$ Prouver que $(|X_n|^p)_n$ est uniformément intégrable, i.e $$
\lim_c\sup_{n \in \mathbb{N}}E(|X_n|^p1_{(|X_n|^p>c)})=0.

$$ Alors que faut-il faire dans le cas d'une convergence en loi ? (on n'a pas la convergence en probabilité !)
Merci.