Limite de probabilités

Bonjour,

Il n'est pas certain que ce qui suit intéresse réellement Michal, mais je n'ai pas su résister au désir de "calculer" $\Pr (E_n)$.

Je note: $\forall n \in \N,\: u_n = \Pr (E_n).\quad$ Alors la suite $(u_n)_{n\in \N}$ est définie par:
$u_0=u_1=u_2=u_3= u_4=1,\: u_5 =1-q^4,\:\:\:\: \forall n \in \N^*,\:\: u _{n+5} = u_{n+4} -r u_n\:\:\:\:\text{où}\:\:\: r:=pq^4.$

Prouver que les racines complexes de $X^5-X^4 +r$ (polynôme caractéristique de la récurrence linéaire à laquelle obéit la suite $(u_n)$) ont toutes un module strictement inférieur à $1$ est un exercice auquel on peut accorder un léger intérêt.

Cela permet en tous cas de justifier que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n =0$, mais l'argument de Lourran est bien entendu plus simple.
Il est alors classique d'introduire la série formelle $ S(X)=\sum_{n\geqslant 0} u_nX^n $.
Avec la relation de récurrence, on parvient facilement à: $S(X) =\dfrac {1-q^5X^5}{1-X+rX^5} = (1 -q^5X^5) \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (X-rX^5)^n$, puis à une expression, dont le charme n'a rien d'excessif, de $u_n$.
$$\boxed {\displaystyle \Pr (E_n) =\sum _{\substack{ k \in \N \\ k \leqslant n/5}} (-pq^4)^k\left(\binom{n-4k}k -q^5\binom{n-5-4k}k \right) }$$