Familles libres de fonctions
dans Algèbre
Bonjour, j'ai besoin d'aide concernant la question 1)a) proposition de corrigé ii) de cet exercice (je l'ai indiqué en bleu en bas à gauche dans le lien du corrigé).
En effet, je voudrais savoir pourquoi avoir sorti le terme "exp[(n+1)x]" précisément et pas un autre ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Bonne journée.
En effet, je voudrais savoir pourquoi avoir sorti le terme "exp[(n+1)x]" précisément et pas un autre ?
Merci d'avance pour votre réponse.
Bonne journée.
Réponses
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Bonjour.
La suite de la preuve l'explique. Comme toujours, dans une preuve, chaque étape se justifie parce qu'on a à la fin une preuve.
Reste la question "comment peut-on y penser ?" Là c'est la structure de la preuve par récurrence qui donne l'idéé : Pour les indices de 1 à 1 on sait faire, on introduit un "petit nouveau" $\lambda_{n+1}$, il faut essayer de le faire disparaître pour retomber sur l'hypothèse de récurrence.
Cordialement. -
supp
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Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Ah d'accord merci. En fait on isole précisément ce terme car c'est la seule façon de faire pour se débarasser du lambda(n+1) en montrant qu'il est nul.
Et j'ai une autre question, c'est ce que j'ai indiqué en vert dans la pièce-jointe de ce mail.
En effet, je voudrais savoir, pourquoi dans le corrigé on dit tout ça, les 4 premières lignes de la méthode ii) juste avant "La propriété est donc bien vérifiée au rang n=1", pour montrer que la famille (x |--> exp(kx)) pour k allant de 1 à 1 est libre,
car il suffisait de dire:
"Au rang n=1. On peut écrire: on a la famille (x |--> exp(kx)) pour k allant de 1 à 1 , c'est-à-dire la famille (x|--> exp(x) )
Or, pour tout x de IR, exp(x) est différent de 0.
Donc la famille (x|-->exp(x) ) (famille composée d'un seul élément) est libre. "
Est-ce correct ?
Merci d'avance pour votre réponse -
Oui, c'est correct. En fait il suffit qu'il existe un \( x \in \R \) tel que \( \exp(1.x) \neq 0 \) pour que la famille \( x\mapsto \exp(x) \) soit libre.
La famille est composée d'un seul élément non nul et donc libre.
La solution suppose que l'espace vectoriel est celui des fonctions de \( \R \) dans \( \R \) ce que l'énoncé ne précisait pas. Le lien que j'ai donné met l'accent sur les distinguo concernant l'ensemble de définition. C'est un point important à mon sens.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonsoir
pour la première question je propose une autre méthode: ce sont des vecteurs propres associées à des valeurs disctinctes pour l'opérateur de dérivation, donc c'est une famille de vecteurs libres... je ne sais pas si cette méthode a déjà été mentionnée. Bonne soirée. -
Oui, oui, c'est une méthode donnée en lien ( par le raseur barbu que je salue s'il passe par là ), dans le lien donné plus haut.
Cela n'enlève rien à ses mérites : c'est une excellente méthode.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ah d'accord merci.
Et j'ai une autre question, c'est ce que j'ai indiqué en vert dans la pièce-jointe de ce mail.
En effet, je voudrais savoir, quand il est dit "en posant x=0 dans la deuxième équation", mais si on prend un cas particulier, la propriété qu'on cherche à montrer par récurrence ne sera pas montré dans le cas général et donc la démonstration sera incomplète et cela faussera la récurrence ?
Merci d'avance pour votre réponse -
Bonjour.
Encore une fois ici, on travaille sur les fonctions, écrites par l'intermédiaire de l'image d'un réel quelconque x ($e^x$ pour $\exp$, $e^{2x}$ pour la fonction $x\mapsto e^{2x}$, ..$0$ pour la fonction $x\mapsto 0$). Donc on ne prend pas un cas particulier, on utilise le fait que si $f=g$, alors, pour tout x, $f(x)=g(x)$; en particulier ici, $f(0) = g(0)$. On en déduit une propriété de $\lambda_{n+1}$ qui est une constante, donc ne dépend en rien de la façon d'écrire les fonctions.
Une autre façon (très intuitive) de comprendre : $\lambda_{n+1}$ ne dépend pas de $x$; s'il est nul quand $x=0$, il est nul.
Cordialement. -
@Shadows Asgard : tu as un gros problème avec les spécialisations de fonctions en des points particuliers. Regarde de plus près les quantifications :
"la famille de fonctions $f_1, \dots, f_r$ définies sur $I$ est libre"
veut dire
"pour tous réels $\lambda, \dots, \lambda_r$, si $\lambda_1f_1 + \dots \lambda_rf_r$ est la fonction nulle, alors $\lambda_1 = \dots = \lambda_r = 0$"
ou encore
"pour tous réels $\lambda, \dots, \lambda_r$, si pour tout $x \in I$, on a $\lambda_1f_1(x) + \dots \lambda_rf_r(x)=0$ alors $\lambda_1 = \dots = \lambda_r = 0$".
Il faut bien à un moment se servir du fait que ceci est vrai pour n'importe quel $x$ pour appliquer l'hypothèse de récurrence.
Un fait général : si la famille de réels $(f_1(x), \dots, f_r(x))$ est libre pour au moins un réel $x$, la famille de fonctions $(f_1, \dots, f_r)$ est libre. La démonstration est immédiate en appliquant les définitions ci-dessus. -
Merci beaucoup :-)
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