Convergence en proba vers l'infini

Anaconda
Anaconda
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Comment montre-t-on qu'une suite de variables aléatoires converge vers $+ \infty$ ?
Faut-il montrer que

Quelque soit $M>0$, alors $\mathbb{P}(X_n>M) \to 1$ ?

Ceci ne veut pas dire que $X_n$ converge presque sûrement vers $\infty$ également ?
Merci pour vos réponses.

Réponses

  • aléa
    aléa
    Non, ce n'est pas équivalent, prendre une suite de variables aléatoires indépendantes avec
    $P(X_n=0)=1/n$ et $P(X_n=n)=1-1/n$.

    $X_n$ tend en probabilité vers l'infini, mais avec proba 1 $\liminf X_n=0$.
  • Sylviel
    Sylviel
    Si je ne m'abuse la définition de "tendre vers $+\infty$ en probabilité" est :
    pour tout $M>0$, et tout $\varepsilon >0$, il existe un rang $n_0$ à partir du quel
    la proba qu'un élément de la suite soit au dessus de $M$ est d'au moins $1-\varepsilon$.
  • ken
    ken
    1. $(X_n)_n$ converge p.s vers $+\infty$ ssi $\forall \epsilon >0,~P(\limsup_n\left\{X_n <\epsilon \right\})=0$ (Vérifie la !)

    2. Définition : $(X_n)_n$ converge en probabilité vers $+\infty$ si $\forall \epsilon>0 ,~ \lim_nP(|X_n|>\epsilon)=1$
    Consultez http://math.univ-lille1.fr/~suquet/Polys/TLC.pdf (page 27) pour voir une application pour cette notion (en fait le théorème se trouve comme un exercice dans le livre : Calcul des probabilités, D. Foata et A. Fuchs).
  • Sylviel
    Sylviel
    @ken : de manière pédagogique il vaut mieux utiliser $\forall \epsilon >0$ lorsque les $\epsilon$, [ce] qui apporte une information, sont ceux proches de $0$ et une autre lettre (e.g. $M$) lorsque ce sont les grandes valeurs, [ce] qui apporte une information ;-)
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