Conservation loi de Poisson
Bonjour, voici un exercice sur lequel je ne suis pas très inspiré. On cherche toutes les fonctions $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ qui conservent la loi de Poisson, autrement dit telles que pour tout $\lambda >0$, si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, alors il existe $\alpha(\lambda)>0$ tel que $f(X)$ suive une loi de Poisson de paramètre $\alpha(\lambda)$. A priori seules l'application nulle et l'identité conviennent mais je n'arrive pas à le montrer. Merci de votre aide.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si $A_k=\{n;f_n=k\}$ alors $(A_k)_{k\geq 0}$ forme une partition des entiers et pour tous $t>0$ et $k=0,1,2,\ldots$ on a
$$\frac{a(t)^k}{k!}e^{-a(t)+t}=\sum_{n\in A_k}\frac{t^n}{n!}\ \ \ (*)$$
Soit $m_k$ le minimum de $A_k$, qui existe car $A_k$ est non vide. Montrons que $m_0=0.$ En effet, si $m_0>0$ on aurait alors d'apres (*) $$e^{-a(t)+t}=\sum_{n\in A_0}\frac{t^n}{n!}\sim_{t\to 0}t^{m_0}/m_0!$$ puis $a(t)-t+m_0\log t\to \log (m_0!)$ et donc $ a(t)\sim_{t\to 0} m_0(-\log t).$ Soit alors $K=f(0)$. Donc $K>0$ , $m_K=0$ et $a(t)^Ke^{-a(t)+t}\to_{t\to 0 }1$ ce qui entrainerait $$(m_0(-\log t))^Kt^{m_0}/m_0!\sim_{t\to 0}1:$$ contradiction. Donc $m_0=0.$ Cela entraine a son tour $e^{-a(t)+t}=1+\sum_{n\in A_0\setminus\{0\}}\frac{t^n}{n!}\geq 1$ et donc $0<a(t)\leq t.$ Or d'apres (*) on a
$$\frac{a(t)^k}{k!}e^{-a(t)+t}\sim_{t\to 0}\frac{t^{m_k}}{m_k!}$$ et donc $k\geq m_k$ Comme les $m_k$ sont tous distincts, cela entraine que pour tout $k$ on a $m_k=k$ et $A_k=\{k\},$ et donc $f(k)=k.$