Convergence en loi et suite d'évènements

Bonjour,
En utilisant seulement les définitions des différentes notions qui interviennent dans cet énoncé:

Soit $\varepsilon \in \R^{+*}$.
$\bullet \:\displaystyle \lim _{- \infty} F =0$ donc: $\:\:\exists A \in \R$ tel que: $ \:F(A)<\varepsilon\:\:$ et $\:\:\:\Pr[X=A] = 0$.
$\bullet \: \displaystyle \lim_{n \to+\infty}x_n = -\infty$ donc: $\:\: \exists N \in \N$ tel que: $\forall n \in \N,\:\: n>N \implies x_n <A$.
$\bullet \:(X_n)_n \text{ converge en loi vers "F" continue en A}\:$ donc: $\exists N_1 \in \N$ tel que: $N_1>N$ et $\forall n \in \N,\:\: n>N_1 \implies \Pr [X_n \leqslant A] < F(A) + \varepsilon$.

De ces trois inégalités, on déduit: $\forall n \in \N$ tel que $n>N_1,\:\: 0\leqslant \Pr [X_n \leqslant x_n] \leqslant \Pr [X_n \leqslant A] <2\varepsilon.\quad$ On a donc prouvé que: $$\boxed{\displaystyle \lim _{n\to + \infty} \Pr[X_n \leqslant x_n] =0.}$$.

Re,
Alors, dans ce cas, on choisit $A$ tel que $\Pr[X=A] =0$, ce qui rend $F$ continue en $A$.

Ça résulte juste de la seule obstruction à ce qu'une fonction de répartition soit continue en un réel $A$. Rappel : une telle fonction est toujours continue à droite.