Loi de probabilité et fonction de répartition

Divers phénomènes peuvent être représentés par des variables aléatoires, soit parce que le phénomène est réellement aléatoire (plutôt rare), soit parce que nous ne disposons ni des informations nécessaires, ni de la puissance de calcul, pour faire une modélisation déterministe alors qu'une modélisation aléatoire donne des résultats parfaitement satisfaisant (exemple : la physique statistique).

Quand on souhaite modéliser un phénomène il faut s'interroger sur la loi (ou le type de loi) que peut suivre le phénomène. Parmi toutes les lois possibles un certain nombre reviennent régulièrement :
- la loi uniforme (quand tous les éléments ont autant de chance d'être choisis)
- la loi normale (fondamentale en statistique et proba ; elle apparaît souvent pour les phénomènes résultant d'une somme de phénomènes indépendant via le TCL)
- la loi exponentielle (dite "sans mémoire", apparaît typiquement dans les durées de vie sans vieillissement)
- la loi binomiale (nombre de réussites sur n essais indépendants)
- la loi géométrique (nombre d'essais indépendants nécessaires avant de réussir)
...
D'autres apparaissent naturellement en statistique (loi du Chi2, loi de Student...), ou dans des modélisation plus fines (Weibull / Gumble...).
Connaître et comprendre leurs propriétés permet de savoir celle qui a le plus de chance de bien représenter un phénomène donné.

Pour caractériser la loi d'une variable aléatoire il y a plusieurs manières de faire :
- connaître la densité (si elle en a une)
- connaître la fonction de répartition
- connaître la fonction génératrice des moments
- connaître la fonction caractéristique
- connaître la transformée de Laplace
...
chacune de ces fonctions détermine entièrement la loi en question. Certaines sont plus simples à appréhender que d'autres. La fonction de répartition a une interprétation très simple : c'est la probabilité que la v.a. soit plus petite qu'une valeur donnée.