Loi normale

Ratwez · June 2019

Bonjour à tous
Est-il possible de calculer la valeur exacte de $P(-a<X<a)$ avec $X$ qui suit une loi normale centrée réduite et $a \in \mathbb{R}$ ?

Par exemple si $X \sim \mathcal{N} (0;1)$, est-il possible de calculer la valeur exacte de $P(-2<X<2)$ ?

gerard0 · June 2019

Bonjour.

Tout dépend de ce que tu veux dire par "valeur exacte". Si tu veux dire une valeur exacte décimale, ce n'est pas possible, à priori ce n'est pas un décimal. Ce n'est pas non plus une expression simple à partir des fonctions élémentaires du secondaire. Par contre c'est 2 Erf(2), où Erf est une des fonctions spéciales de base, ou encore $2\Pi(2)-1$, où $\Pi$ est la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite, fonction non élémentaire, mais bien connue.

En pratique, on utilise généralement des valeurs approchées (tables, calculette, tableur, ..)

Cordialement.

Ratwez · June 2019

Merci pour cette réponse. Le mot "valeur exacte" était mal employé de ma part. En fait je me demandais si on pouvait calculer autrement ces probabilités que par le calcul de l'aire. Je viens de regarder la définition de la foncion $erf$ mais elle s'exprime aussi avec des intégrales.
Donc si je comprends bien il n'existe pas de valeur décimale car il n'y a pas de primitive à la fonction $\displaystyle f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}dt$ et le seul moyen d'obtenir une valeur approchée de $P(-2<X<2)$ est le calcul de l'intégrale avec la méthode des rectangles.

gerard0 · June 2019

Ce n'est pas le seul moyen, il y a par exemple des approximations polynomiales de la fonction erf, valides avec une certaine incertitude sur des intervalles donnés. En fait, on a rarement besoin des valeurs en dehors de l'intervalle [0,4].

Cordialement.

P. · June 2019

" il n'y a pas de primitive à la fonction $\displaystyle f(x) = \int_{0}^{x}
e^{-t^2}dt$ '

Quelle soupe, Tu veux sans doute dire que $f$ n'est pas calculable par fonctions elementaires. Mais $f$, qui est une primitive $e^{-x^2},$ existe. Et $f$ lui meme a aussi une primitive, qui n'interesse personne.

Sylviel · June 2019

P. écrivait :

> Et $f$ lui même a aussi une primitive, qui n’intéresse personne.

Je te trouve médisant, je suis sûr que l'on peut faire des exercices rigolos avec une primitive de $f$ (:P)
(je sors).