Fonction caractéristique
Bonjour, en lisant dans le livre de D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités, j'ai trouvé, au chapitre 13, l'exercice suivant (exercice 11).
Soit $\phi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction mesurable telle que pour tout $y \in \mathbb{R},~ x \mapsto \phi(x,y)$ est une fonction caractéristique. Soit $f$ une densité de probabilité sur $\mathbb{R}.$
Vérifier que $\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}} \phi(x,y)f(y)dy$ est une fonction caractéristique.
J'ai consulté les solutions des exercices et j'ai uniquement trouvé les solutions des parties qui suivent la question ci-dessus.
Bien sûr on peut utiliser le théorème de Bochner pour la vérification, mais y a-t-il une autre façon pour la faire ? (En fait le livre ne mentionne pas ce théorème.) Peut-on trouver une densité dont la fonction caractéristique est $\varphi$ ?
Merci.
Soit $\phi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction mesurable telle que pour tout $y \in \mathbb{R},~ x \mapsto \phi(x,y)$ est une fonction caractéristique. Soit $f$ une densité de probabilité sur $\mathbb{R}.$
Vérifier que $\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}} \phi(x,y)f(y)dy$ est une fonction caractéristique.
J'ai consulté les solutions des exercices et j'ai uniquement trouvé les solutions des parties qui suivent la question ci-dessus.
Bien sûr on peut utiliser le théorème de Bochner pour la vérification, mais y a-t-il une autre façon pour la faire ? (En fait le livre ne mentionne pas ce théorème.) Peut-on trouver une densité dont la fonction caractéristique est $\varphi$ ?
Merci.
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Réponses
En appliquant le théorème de Fubini, ce qui est loisible ici puisque $f$ est $L^1$ et chaque fonction caractéristique est bornée par $1$, on obtient que pour tout $x \in \mathbb R$, $$\varphi(x) = \int_{\mathbb R} \left(\int_{\mathbb R} e^{itx} f_y(t) \,dt\right) f(y) \,dy = \int_{\mathbb R} e^{itx} \left(\int_{\mathbb R} f_y(t) f(y) \,dy\right) \,dt.$$ Il reste à s'assurer que $g : t \mapsto \int_{\mathbb R} f_y(t) f(y) \,dy$ est bien une densité, ce qui est immédiat, à nouveau grâce au théorème de Fubini.
Sans l'hypothèse de densité, je ne sais pas s'il y a un argument aussi immédiat.
$\int \phi(x,y)\mu(dy)$ est la fonction caracteristique de la probabilite $ \nu(dt)=\int\mu(dy)K(y),dt).$