Mesure d'un cône
Bonjour à tous, j'espère que tout le monde va bien.
Est-ce que, par hasard, quelqu'un sait calculer la mesure du cône en rouge ci-dessous ?
Voici un peu plus de détail, je considère la boule $B(0,r)$ et le point $q \notin B(0,r)$. Puis je considère l'hyperplan passant par l'origine, orthogonal à $q$ et intersectant la boule : $\Sigma_{r} = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \mid \langle z, q \rangle = 0 \} \cap B(0,r)$.
J'appelle $C$ le cône engendré par $q$ et $\Sigma_{r}$ et j'ai \[
\mathcal{L}(C) = c_{n}|q|r^{n-1}
\] Avec $c_{n}>0$ une constante qui ne dépend que de la dimension et $\mathcal{L}$ la mesure de Lebesgue.
Voyez-vous comment prouver cela ?
Je vous souhaite une agréable journée.
Est-ce que, par hasard, quelqu'un sait calculer la mesure du cône en rouge ci-dessous ?
Voici un peu plus de détail, je considère la boule $B(0,r)$ et le point $q \notin B(0,r)$. Puis je considère l'hyperplan passant par l'origine, orthogonal à $q$ et intersectant la boule : $\Sigma_{r} = \{ z \in \mathbb{R}^{n} \mid \langle z, q \rangle = 0 \} \cap B(0,r)$.
J'appelle $C$ le cône engendré par $q$ et $\Sigma_{r}$ et j'ai \[
\mathcal{L}(C) = c_{n}|q|r^{n-1}
\] Avec $c_{n}>0$ une constante qui ne dépend que de la dimension et $\mathcal{L}$ la mesure de Lebesgue.
Voyez-vous comment prouver cela ?
Je vous souhaite une agréable journée.
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Réponses
Tout à fait.
http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-v2/
l'extrait de la deuxième édition de notre livre "De l'intégration aux probabilités".
Page 94, tu trouveras le calcul du volume du cône en dimension 3.
Il te reste à l'adapter à une dimension quelconque.
Merci sincèrement aléa pour votre aide.
Grâce à votre livre, de l'intégration aux probabilités, j'ai compris que je pouvais écrire $\mathcal{C} = C(q,v) := \{ (1-t)q + tu \mid t\in[0;1],~ u \in [B(x,r)\times\{0\} + v] \}$ qui a la même mesure de Lebesgue que $C(q,0)$. Grâce à votre livre à nouveau, j'ai compris comment calculer la mesure de $C(h,0)$ avec $ h :=(0,\ldots,0,|q|)$.
Pour conclure, il reste à prouver que $C(q,0) $ a la même mesure de Lebesgue que $C(h,0)$. Peut-être qu'il existe une matrice orthogonale $A$ tel que $AC(q,0) = C(h,0)$. Si quelqu'un voit comment faire.
Je vous souhaite une excellente journée.
$$\int_0^{|q|} \left(\frac{tr}{|q|}\right)^{n-1} V_{n-1}\,dt= \dfrac{V_{n-1}}{n} |q|\,r^{n-1}\;,$$
où $V_{n-1}$ est le $n-1$-volume de la boule unité de dimension $n-1$. C'est trop simpliste ?
V(C)=\int_{C}dx=\int_{[0,1]\times A}t^ddtdy=\frac{|A|}{d+1}.
$$ * Pas si différente de celle de GBZM.
Question : Comment passer de $C(q,0)$ à $C(h,0)$ sans changer la mesure de Lebesgue ?
La mesure de Lebesgue est invariante par transformations orthogonale. Et il existe une matrice orthogonale $P$ tel que $Ph =q$. Toutefois $PC(q,0) \ne C(h,0)$. D'ailleurs ce n'est même plus un cône dont la base est une section de boule.
Avez vous des idées ?
Je vous souhaite un excellent dimanche.
On a aussi $(u_0,u_h)=(v_0,v_q)+(w,0)$ avec $w$ dans $B(x,r)$
Maintenant à $z$ réel fixé, il existe au plus un $t$ dans $[0,1]$ tel que le point $(1-t)q_h+tv_q=z$, de la sorte la tranche de hauteur $z$, si elle n'est pas vide, est encore une boule de dimension $d-1$ puisque c'est l'image par une transformation affine de la boule $B(x,r)$. On peut bien sûr calculer son volume.